如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为A
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 07:35:17
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为AD,PC的中点.
求证:PC⊥面BEF.求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
求证:PC⊥面BEF.求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
∵PA⊥平面ABCD,AB是斜线PB的射影,
BC⊥AB,
∴根据三垂线定理,BC⊥PB,
∴△PBC是RT△,
∵F是RT△PBC斜边的中点,
∴BF=PC/2,
根据勾股定理.PC^2=PA^2+AC^2,
AC^2=AB^2+BC^2,
AC=2√3,
PC=4,
BF=2,
∵PA=PB=2,PA⊥PB,
∴△PAB是等腰RT△,
PB=√2AB=2√2,
PB=BC=2√2,
∴△PBC是等腰RT△,
BF⊥PC,
PE=√6,CE=√6,
PE=CE,
∴△PEC是等腰△,
∵F是PC中点,
∴EF⊥PC,(等腰△三线合一),
∵EF∩BF=F,
∴PC⊥平面BEF.
2、设底对角线AC∩BD=O,
连结FO和EO,延长EO交BC于M,连结FM,
∵FO是△PAC的中位线,
∴EF//PA,
∴EF⊥平面ABCD,
∵EM//AB,
PA∩AB=A,
EO∩EM=O,
∴平面PAB//平面EFM,
∴平面EFM和平面EFB所成二面角就是平面BEF与平面BAP夹角,
∵BM⊥EM,BM⊥FO,
∴BM⊥平面EFM,
△EFM是△EFB在平面EFM上的投影,
设二面角B-EF-M的平面角为θ,
S△EFM=S△BEF*cosθ,
EF=√(PE^2-PF^2)=√(6-4)=√2,
∵EF^2+BF^2=BE^2=6,
∴△BEF是RT△,
S△EFB=EF*BF/2=√2*2/2=√2,
S△EMF=EM*FO/2=2*1/2=1,
∴cosθ=1/√2=√2/2,
θ=45°,
∴平面BEF与平面BAP夹角为45度.
BC⊥AB,
∴根据三垂线定理,BC⊥PB,
∴△PBC是RT△,
∵F是RT△PBC斜边的中点,
∴BF=PC/2,
根据勾股定理.PC^2=PA^2+AC^2,
AC^2=AB^2+BC^2,
AC=2√3,
PC=4,
BF=2,
∵PA=PB=2,PA⊥PB,
∴△PAB是等腰RT△,
PB=√2AB=2√2,
PB=BC=2√2,
∴△PBC是等腰RT△,
BF⊥PC,
PE=√6,CE=√6,
PE=CE,
∴△PEC是等腰△,
∵F是PC中点,
∴EF⊥PC,(等腰△三线合一),
∵EF∩BF=F,
∴PC⊥平面BEF.
2、设底对角线AC∩BD=O,
连结FO和EO,延长EO交BC于M,连结FM,
∵FO是△PAC的中位线,
∴EF//PA,
∴EF⊥平面ABCD,
∵EM//AB,
PA∩AB=A,
EO∩EM=O,
∴平面PAB//平面EFM,
∴平面EFM和平面EFB所成二面角就是平面BEF与平面BAP夹角,
∵BM⊥EM,BM⊥FO,
∴BM⊥平面EFM,
△EFM是△EFB在平面EFM上的投影,
设二面角B-EF-M的平面角为θ,
S△EFM=S△BEF*cosθ,
EF=√(PE^2-PF^2)=√(6-4)=√2,
∵EF^2+BF^2=BE^2=6,
∴△BEF是RT△,
S△EFB=EF*BF/2=√2*2/2=√2,
S△EMF=EM*FO/2=2*1/2=1,
∴cosθ=1/√2=√2/2,
θ=45°,
∴平面BEF与平面BAP夹角为45度.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为A
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直于平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=根号2,E、F分别是PB
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直于平面ABCD,AP=AB=2,BC=2根号2,E,F分别是A
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E、F分别是PB,P
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,
如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形pa垂直平面abcd,ap=ab,bp=bc=2,e,f分别是pb,pc
如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD中点.
已知在四棱锥p-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中
已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F、分别是线段AB、BC的
四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,且ad=2,ab=1,pa垂直面abcd,e,f分别是ab,bc的中点。 判断
在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB:BC=1;根号2,O,F分别为CD,BC的中点,且EO垂直面ABCD,