高数证明题-连续性已知 f 在R上连续,当x属于有理数,f (X) = 0.证明：f (x) 在R上都为0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 16:26:42

高数证明题-连续性
已知 f 在R上连续,当x属于有理数,f (X) = 0.证明：f (x) 在R上都为0

试着证明一下.
反证法.
假设f（x）在某一个无理数点不为0,那么不妨设为f(x0)=a>0,根据连续函数的保号性可知,存在某一个x0的邻域e,在这个e内f（x）>0,
实数有下列性质（实数的稠密性）：任意两个有理数之间必定有无穷多个无理数,任意两个无理数中间必定有无穷多个有理数,任意确定的区间内必定有无穷多个有理数和无穷多个无理数.
因此,在区间e内,必然有无穷多个有理数,根据已知条件,那么所有的这些有理数点,必然有f（x）=0,这和前面的f（x）>0,相矛盾,所以任何一个无理数点,均满足f（x）=0
最后,因为实数是由无理数和有理数相间构成的,所有的无理数点和有理数点构成两个全为0的子数列,因此f（x）在R上都为0
再问：我的大体想法和你差不多，不过卡在那个保号性那里了，你能不能稍微证明一下保号性，或者解释下为什么：存在某一个x0的邻域e，在这个e内f（x）>0。我不太明白这个性质。
再答：这是连续函数的基本性质之一啊高数书上第一章的内容，至于证明啊，书上的证明方法我忘了（以前还看过，现在看书都是只记结论不计怎么证明的，呵呵）。你可以看看书上式怎么证明的。

高数证明题-连续性已知 f 在R上连续,当x属于有理数,f (X) = 0.证明：f (x) 在R上都为0 已知f(x)=x-sinx,请证明f(x)在R上为增函数一道数学怪题已知f（x）在R上连续,又知道当x为有理数时满足f（x）=x.能不能推出f（x）=x在R上成立?也许不能,又 f(x)定义在R上,对任意x y都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(x)在x=0处连续,证明f(x)对一切x均连设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数. 设函数f(x)在R上连续,且当X趋向于无穷大时,limf(x)=A.证明：f(x)在R上必有界. 高一函数奇偶性证明题函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x大于0时,f(x)=根号下x+1,则当x大于0时,求f(x)的已知f(x+y)=f(x)f(y) f(0)=1 当x〉0时,f（x）〉1 证明f（x)在R上为增函数证明:若F(X)在R上连续,且F(X)极限存在,则F(X)必在R上有界 f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时f（x）>1.证明：高数证明题：设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明高一函数性质证明题f(x)是定义在R上的函数,对于任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时0