作业帮函数的导数运算
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 10:11:36
解题思路： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点.
解题过程：
解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax-e
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=ex-ex，f′（x）=ex-e
令f′（x）=ex-e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，1），单调增区间为（1，+∞） （Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x-x0）+f（x0）
令g（x）=f（x）-f′（x0）（x-x0）-f（x0）
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点
∵g（x0）=0，g′（x）=ex−ex0+2a(x−x0)
∵a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0， ∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0
当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0， 由P的任意性a≥0不合题意. 所以不存在.
解题过程：
解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax-e
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=ex-ex，f′（x）=ex-e
令f′（x）=ex-e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，1），单调增区间为（1，+∞） （Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x-x0）+f（x0）
令g（x）=f（x）-f′（x0）（x-x0）-f（x0）
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点
∵g（x0）=0，g′（x）=ex−ex0+2a(x−x0)
∵a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0， ∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0
当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0， 由P的任意性a≥0不合题意. 所以不存在.