（2014•陕西）问题探究

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 19:54:13

（2014•陕西）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，
则PA=PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°．
∵PA=PD，AB=DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．
∴BP=CP．
∵BC=4，
∴BP=CP=2．
②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，
则DA=DP′．

∴△P′AD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴DC=3，DP′=4．
∴CP′=
42−32=
7．
∴BP′=4-
7．
③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，
则AD=AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．
同理可得：BP″=
7．
综上所述：在等腰三角形△ADP中，
若PA=PD，则BP=2；
若DP=DA，则BP=4-
7；
若AP=AD，则BP=
7．

（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=
1
2BC．
∵BC=12，
∴EF=6．
以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．
∵AD⊥BC，AD=6，
∴EF与BC之间的距离为3．
∴OQ=3
∴OQ=OE=3．
∴⊙O与BC相切，切点为Q．
∵EF为⊙O的直径，

∴∠EQF=90°．
过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，
∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，
∴四边形OEGQ是正方形．
∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．
∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，
∴BG=

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