作业帮一道数学竞赛的平面几何问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 07:27:02
一道数学竞赛的平面几何问题
如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证：DE∥AP
证明：设AB,CD的交点为F,连接BC,AD,AC
则由切割线知△PBD∽△PCB,△PAD∽△PCA
即有PB/PC=PD/PB=BD/BC
PA/PC=PD/PA=AD/AC,又PA=PB
∴PB²/PC²=(BD/BC)·(AD/AC)=(BD/AC)·(AD/BC)
=(DF/AF)·(DF/BF)=DF²/(AF·BF)=DF²/(DF·CF)=DF/CF
而PB²=PD·PC,∴PD/PC=DF/CF
=>DF/PD=CF/PC
又C,E,M为△APF的割线,M为AP中点
∴由梅涅劳斯定理(AM/MP)·(PC/CF)·(FE/EA)=1
可得FE/EA=CF/PC=DF/PD
即DE//AP
再问： 谢谢，但是这一步不太明白，能再仔细讲讲吗？（我用空格隔开的）
PB²/PC²=(BD/BC)·(AD/AC)= (BD/AC)·(AD/BC)=(DF/AF)·(DF/BF) =DF²/(AF·BF)=DF²/(DF·CF)=DF/CF
再答： 这里只是单纯的两个分式相乘=分子分母各自相乘
然后再拆开成另外两个分式的乘积而已，即
(BD/BC)·(AD/AC)=(BD·AD)/(BC·AC)
=(BD·AD)/(AC·BC)=(BD/AC)·(AD/BC)
则由切割线知△PBD∽△PCB,△PAD∽△PCA
即有PB/PC=PD/PB=BD/BC
PA/PC=PD/PA=AD/AC,又PA=PB
∴PB²/PC²=(BD/BC)·(AD/AC)=(BD/AC)·(AD/BC)
=(DF/AF)·(DF/BF)=DF²/(AF·BF)=DF²/(DF·CF)=DF/CF
而PB²=PD·PC,∴PD/PC=DF/CF
=>DF/PD=CF/PC
又C,E,M为△APF的割线,M为AP中点
∴由梅涅劳斯定理(AM/MP)·(PC/CF)·(FE/EA)=1
可得FE/EA=CF/PC=DF/PD
即DE//AP
再问： 谢谢，但是这一步不太明白，能再仔细讲讲吗？（我用空格隔开的）
PB²/PC²=(BD/BC)·(AD/AC)= (BD/AC)·(AD/BC)=(DF/AF)·(DF/BF) =DF²/(AF·BF)=DF²/(DF·CF)=DF/CF
再答： 这里只是单纯的两个分式相乘=分子分母各自相乘
然后再拆开成另外两个分式的乘积而已，即
(BD/BC)·(AD/AC)=(BD·AD)/(BC·AC)
=(BD·AD)/(AC·BC)=(BD/AC)·(AD/BC)