两道平面几何 数学竞赛

两道平面几何 数学竞赛
① 四边形ABCD,由各边中点向外作垂线,且其长为该边的一半,得四点PQRS,求证PR=QS PR⊥QS
② 圆内接四边形ABCD 求证 ABC BCD CDA DAB 四个三角形重心四点共圆
详细一点

1、由于用几何画板画图自动出现字母,PQRS就是D1、E1、F1、G1.以四边为边长向外作正方形如图,那么
D1、E1、F1、G1四个正方形对角线交点（无需证明）,AB=BS,BC1=BD,
∠SBD=∠ABC1=90°+∠ABD,
△SBD≌△ABC1,SD=AC1,∠BC1Q1=∠Q1DO1,∠BQ1C1=∠O1Q1D,∠BQ1C1+∠BC1Q1=90°,
所以∠O1Q1D+∠Q1DO1=90°,AC1⊥SD.同理可证：AW=DV.
连接AD取中点H1,连线如图.我要证明△D1H1E1≌△G1H1F1
F1H1=1/2AC1,D1H1=1/2SD(三角形中位线）,SD=AC1(已证）F1H1=D1H1.同理可证H1E1=H1G1.
有了两边对应相等,再证夹角相等即可.
又因D1H1‖SD,H1F1‖AC1,所以四边形 P1O1N1H1为平行四边形,又AC1⊥SD,∠P1O1N1=90°,所以它也是矩形,∠D1H1F1=90°,
同理可证;四边形R1S1T1H1也为矩形,∠G1H1E1=90°,
∠D1H1E1=90°+∠D1H1G1；∠G1H1F1=90°+∠D1H1G1,所以∠D1H1E1=∠G1H1F1,
所以△D1H1E1≌△G1H1F1,G1F1=D1E1(相等得证）,∠H1F1G1=∠H1D1M1,
又∠H1U1F1=∠D1U1M1(对顶角）,∠H1U1F1+∠H1F1G1=90°,∠D1U1M1+∠H1D1M1=90°,
所以在三角形M1D1U1里,∠D1M1F1=90°.所以G1F1⊥D1E1.
2、根据三角形重心（即中心,也就是三角形三条中线交点）,在三角形ABG中BU、GC为中线,UC为中位线,
UC‖BG,显而易见△UQC∽△BQG,又UC=1/2BG,所以PQ=1/2AQ=1/3AP,由此得出结论任意三角形中心到对
边中点的距离是这边上中线长的1/3.
所以PQ/AP=1/3,PS/PF=1/3,所以PQ/AP=PS/PF,∠QPS为公共角,△PQS∽△PAF,QS/AF=PQ/AP=1/3,
∠PSQ=∠PFA,所以QS‖AF,
同理,ST‖AG,TY‖BG,YQ‖BF,TS/AG=RS/RG=1/3,TY/BG=XT/XB=1/3,QY/BF=UQ/UB=1/3,
所以ST/AG=TY/BG=QY/BF=QS/AF,
又PS/PF=1/3,UY/UF=1/3,所以PS/PF=UY/UF=1/3,所以FY/UF=SF/PF=2/3,∠UPF为公共角,
△FSY∽△FUP,所以SY/UP=2/3,UP=1/2AB,因此,SY/AB=1/3,
又TY/BG=TS/AG,所以TY/BG=TS/AG=SY/AB,所以△TSY∽△AGB,∠STY=∠AGB,
同理可证：∠GAF=∠QST,∠AFB=∠SQY,∠GBF=∠TYQ
四边形AGBF∽四边形STYQ,
所以S、T、Y、Q四点共圆.