椭圆的最大内接矩形问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 11:23:13

椭圆的最大内接矩形问题
在 x^2/a^2+y^2/b^2=1 的椭圆内作内接矩形,使矩形的面积最大.
我的做法是：
设矩形在第一象限内的顶点坐标为（acosX , bsinX）
则矩形的长为2acosX,宽为2bsinX,
面积=4absinXcosX=2absin2X.
然后得出,当X=45°时,面积最大,那么,内接矩形面积最大的时候,不是都变成了正方形吗?
这与“矩形的长和宽为√2a 和√2b
矩形最大面积为 S = 2p*2q = 2ab”有矛盾,请问错哪了?

计算没问题
当X=45°时,面积最大,这时第一象限的顶点的坐标是（√2a/2 ,√2b/2）
求出该顶点和原点连线的斜率=(√2b/2) / (√2a/2) =b/a ＜1
就是说,该矩形不是正方形,为什么求出来是X=45°呢?
问题在于这个X不是顶点和坐标原点连线的倾斜角,这是椭圆,不是圆
再说,这个X是一个参数,虽然你设矩形在第一象限内的顶点坐标为（acosX ,bsinX）
但是你画图看看,如果X是你所想的顶点和原点连线的倾斜角,那么acosX并不是
顶点的横坐标,而是顶点到原点的距离
只是它作为参数,符合题目条件,所以简便了运算

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