作业帮数学题,大家帮帮忙啊~~
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 19:31:02
数学题,大家帮帮忙啊~~
等腰直角三角形ABC（A为直角顶点）中有一点D,以BD为一条直角边,再做一个等腰直角三角形EBD（直角顶点D在三角形ABC内部）,连接EC取中点P,连接PA,PD
求证AP=PD,AP⊥PD
大家帮帮忙啊~~
等腰直角三角形ABC（A为直角顶点）中有一点D,以BD为一条直角边,再做一个等腰直角三角形EBD（直角顶点D在三角形ABC内部）,连接EC取中点P,连接PA,PD
求证AP=PD,AP⊥PD
大家帮帮忙啊~~
首先,你得画图.如果原题目不提供图,那我怀疑下题目的正确性.因为给定DB为直角边,且D为直角顶点,可以在两个方向上画出不同的等腰直角三角形,而其中一种最后得到的P点不能保证AP=PD或AP⊥PD成立（至少从草图上来看是这样）如果题目提供图而你没贴上来的画,可能我下面讲的不能完全符合你的图,所以我讲一下我的图,如果从直角坐标系的角度来看,那么你可以这样想,A在原点的位置,B在x轴的正半轴,C在y轴的正半轴（虽然说三角形随便怎么摆都一样,但是这样说方便于我下面做辅助线~）D点是随便选的,我选的D点在靠近B点的位置,并且是向下做三角形,也就是说作出的等腰三角形的一边DE与AB相交,如果是与CB相交的那样的画法,我觉得最后结论不对.好了,下面进入正题~
连接AD,以D为直角顶点,AD为直角边向上作等腰直角三角形ADF,边AF交CE于P',连接EF,FP'.那么就有AD=DF,且∠ADF=∠EDB=90°,所以∠ADB=∠FDE,又已知有ED=EB,则△ADB≌△FDE.于是就有对应角相等：∠DAB=∠DFE,∠DBA=∠DEF.因为三角形ADF是等腰直角,所以∠FAD=∠AFD=45°,再根据前面得到的角的相等关系,可以推出∠CAP'=∠EFP',所以CA‖EF,所以△ACP'∽△FEP'.又因为前面证明过的全等,得到FE=AB=AC,所以△ACP'≌△FEP',所以AP'=FP',CP'=EP'.所以P'是CE的中点,P也是CE的中点,所以,P'与P重叠,所以P就是等腰直角三角形ADF斜边AF的中点,显然有DP与AP相等且互相垂直,证完~
PS:证明的很辛苦,其实我第一眼的想法是借用P是中点直接把CAP直接旋转180度到EFP,然后证明FDE和ADB的全等,和前面的证明是完全相反吧,然而后者的全等性无论如何不能严格的证明,无奈出此下策,搞出了一个P',反过来证明.我觉得也许是我傻掉了.
无论怎样,
连接AD,以D为直角顶点,AD为直角边向上作等腰直角三角形ADF,边AF交CE于P',连接EF,FP'.那么就有AD=DF,且∠ADF=∠EDB=90°,所以∠ADB=∠FDE,又已知有ED=EB,则△ADB≌△FDE.于是就有对应角相等：∠DAB=∠DFE,∠DBA=∠DEF.因为三角形ADF是等腰直角,所以∠FAD=∠AFD=45°,再根据前面得到的角的相等关系,可以推出∠CAP'=∠EFP',所以CA‖EF,所以△ACP'∽△FEP'.又因为前面证明过的全等,得到FE=AB=AC,所以△ACP'≌△FEP',所以AP'=FP',CP'=EP'.所以P'是CE的中点,P也是CE的中点,所以,P'与P重叠,所以P就是等腰直角三角形ADF斜边AF的中点,显然有DP与AP相等且互相垂直,证完~
PS:证明的很辛苦,其实我第一眼的想法是借用P是中点直接把CAP直接旋转180度到EFP,然后证明FDE和ADB的全等,和前面的证明是完全相反吧,然而后者的全等性无论如何不能严格的证明,无奈出此下策,搞出了一个P',反过来证明.我觉得也许是我傻掉了.
无论怎样,