设a∈R，函数f（x）=x|x-a|+2x．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/17 05:02:54

设a∈R，函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；
（3）若存在a∈[3，6]，使得关于x的方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

（1）当a=2，x∈[0，3]时，f（x）=x|x-2|+2x=

x2，x≥2
−x2+4x，0≤x＜2
作函数图象，
可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．
（2）f（x）=

x2+(2−a)x，x≥a
−x2+(2+a)x，x＜a
①当x≥a时，f（x）=(x−
a−2
2)2−
(a−2)2
4．
因为a＞2，所以
a−2
2＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当x＜a时，f（x）=-(x−
a+2
2)2+
(a+2)2
4．
因为a＞2，所以
a+2
2＜a．
所以f（x）在（-∞，
a+2
2]上单调递增，在[
a+2
2，a]上单调递减．
综上所述，函数f（x）的递增区间是（-∞，
a+2
2]和[a，+∞），递减区间是[
a+2
2，a]．
（3）当3≤a≤6时，由（1）知f（x）在（-∞，
a+2
2]和[a，+∞）上分别是增函数，在[
a+2
2，a]上是减函数，
当且仅当2a＜t+2a＜
(a+2)2
4时，方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解．
即0＜t＜
(a−2)2
4
令g(a)＝
(a−2)2
4，g（a）在a∈[3，6]时是增函数，
故g（a）_max=4．
∴实数t的取值范围是（0，4）．

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