(2014•抚顺)已知:Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠A′BC′=∠ABC=60°,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/18 15:35:34
(2014•抚顺)已知:Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠A′BC′=∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D.
(1)如图1所示,当点C′在AB边上时,判断线段AD和线段A′D之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°),当A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.
(1)如图1所示,当点C′在AB边上时,判断线段AD和线段A′D之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°),当A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.
答:(1)AD=A′D.
证明:如图1,
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC,
∴BC=BC′,BA=BA′.
∵∠A′BC′=∠ABC=60°,
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形.
∴∠BAA′=∠BC′C=60°.
∵∠A′C′B=90°,
∴∠DC′A′=30°.
∵∠AC′D=∠BC′C=60°,
∴∠ADC′=60°.
∴∠DA′C′=30°.
∴∠DAC′=∠DC′A,∠DC′A′=∠DA′C′.
∴AD=DC′,DC′=DA′.
∴AD=A′D.
(2)AD=A′D
证明:连接BD,如图2,
由旋转可得:BC=BC′,BA=BA′,∠CBC′=∠ABA′.
∴
BC
BC′=
BA
BA′.
∴△BCC′∽△BAA′.
∴∠BCC′=∠BAA′.
∵∠BOC=∠DOA,
∴△BOC∽△DOA.
∴∠ADO=∠OBC,
OB
OD=
OC
OA.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA.
∴∠BDO=∠CAO.
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°.
∴∠BDO+∠ADO=90°,即∠ADB=90°.
∵BA=BA′,∠ADB=90°,
∴AD=A′D.
(3)当A、C′、A′三点在一条直线上时,如图3,
则有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°.
在Rt△ACB和Rt△AC′B中,
BC=BC′
AB=AB.
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B (HL).
∴∠ABC=∠ABC′=60°.
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时,旋转角α的度数为60°.
证明:如图1,
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC,
∴BC=BC′,BA=BA′.
∵∠A′BC′=∠ABC=60°,
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形.
∴∠BAA′=∠BC′C=60°.
∵∠A′C′B=90°,
∴∠DC′A′=30°.
∵∠AC′D=∠BC′C=60°,
∴∠ADC′=60°.
∴∠DA′C′=30°.
∴∠DAC′=∠DC′A,∠DC′A′=∠DA′C′.
∴AD=DC′,DC′=DA′.
∴AD=A′D.
(2)AD=A′D
证明:连接BD,如图2,
由旋转可得:BC=BC′,BA=BA′,∠CBC′=∠ABA′.
∴
BC
BC′=
BA
BA′.
∴△BCC′∽△BAA′.
∴∠BCC′=∠BAA′.
∵∠BOC=∠DOA,
∴△BOC∽△DOA.
∴∠ADO=∠OBC,
OB
OD=
OC
OA.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA.
∴∠BDO=∠CAO.
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°.
∴∠BDO+∠ADO=90°,即∠ADB=90°.
∵BA=BA′,∠ADB=90°,
∴AD=A′D.
(3)当A、C′、A′三点在一条直线上时,如图3,
则有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°.
在Rt△ACB和Rt△AC′B中,
BC=BC′
AB=AB.
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B (HL).
∴∠ABC=∠ABC′=60°.
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时,旋转角α的度数为60°.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm,△A′B′C是Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转3
(2013•老河口市模拟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的
Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a 在三角形内接正方形
如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=4,现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置,若平移距离
如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=4,现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置,若平移距离
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C,使得点A′
已知:如图所示,Rt△ABC,∠ACB=90°,将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得Rt△A'B'C,且点B'在AB上,A'
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=62°,将△ABC绕顶点C旋转到△A′B′C的位置,使顶点B恰好落在
如图所示,在Rt△ABC中,斜边AB= ,∠A=45°,把△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置,则顶点C经
在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°.
(2014•焦作一模)已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB边上一点,且不与A、B两点重合