线性代数-正交相似标准型

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/23 14:03:32

线性代数-正交相似标准型
题目是这样：不懂的问题在后面！
求对称矩阵A的正交相似标准型：
已经求出了λ1=8，λ2=λ3=2，p1=(1,1,1)^T（λ1的特征向量）,p2=(1,0,-1)^T,p3=(0,1,-1)^T，（p2,p3,是λ2=λ3=2的两个线性无关的特征向量）
用正交化方法：β1=p1；β2=p2-[(p2,β1)/(β1,β1)]β1=p2=(1,0,-1)^T；
β3=p3-[(p3,β1)/(β1,β1)]β1-[(p3,β2)/(β2,β2)]β2=-1/2(1,-2,1)^T
分别单位化：
β1’=1/根号3（1，1，1）^T
β2’=1/根号2（1，0，-1）^T
β3’=1/根号6（1，-2，1）^T
问题1，这样求出的β1，β2，β3还是求出的特征值的特征向量吗？应该β2，β3都是P2和P3的线性组合才对呀，这里β2=p2-[(p2,β1)/(β1,β1)]β1=p2 这个等式里只有p2，没有p3，而且还多了一个p1（即β1），β3的等式里也有p1。
p1是属于λ1的特征向量，而p2,p3是属于λ2=λ3的，所以p1,p2不是同一个方程组的解，它们的线性组合有意义吗？

满意会加分！谢谢
刚才翻了一下旧版的书，是像你说的那样，可是新版书就是像我的问题中那样做的，而且刚好不同的特征值的特征向量前的系数是零，不过书后的一道练习题，如果按照全部正交化的方法，并不能把不同特征值的特征向量前的系数消掉，可是结果是一样的,这怎么回事啊？

从你的做法看出你的学习中少学了一个定理，我给你补上就好了：
定理：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交。
所以你这里的p1与p2，p1与p3本来就是正交的（不信你自己乘一下就知道了）；所以p1与p2,p3之间就不需要做正交化，只要在p2与p3之间进行正交化就可以了。
如此，你拿p1与p2去做正交化结果β2不就是等于p2的吗。剩下的结论你就应该都明白了吧。
我只能说有了这个定理以后还全部拿来正交化的都是傻瓜，不论是谁编的书。至于硬要拿来全部正交化计算过程中还有疑问的话那一定是与每个计算题的数据相联系了。

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