作业帮求arctan√tdt的定积分,上限是x,下限是0
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 02:19:19
求arctan√tdt的定积分,上限是x,下限是0
求定积分【0,x】∫arctan(√t)dt
原式=【0,x】[tarctan(√t)-(1/2)∫(√t)dt/(1+t)]=xarctan√x-【0,x】(1/2)∫(√t)dt/(1+t)].
设√t=u,则t=u²,dt=2udu,t=0时u=0；t=x时u=√x；于是上式中的第二个积分可求解如下：
【0,x】(1/2)∫(√t)dt/(1+t)]=【0,√x】∫u²du/(1+u²)=【0,√x】∫[1-1/(1+u²)]du
=[u-arctanu]【0,√x】=√x-arctan√x；
故原式=xarctan√x-(√x-arctan√x)=[(x+1)arctan√x]-√x.
再问： ����������õ��Ƿֲ���ַ�������Ϊʲôԭʽ����=tarctan(��t)-��t.1/1+tdt ?������Ľ����arctan��x(x+1)-x,�鷳���ٰ��ҿ���
再答： ���arctant��������ˣ� ��arctan(��t)dt=tarctan(��t)-��td[arctan(��t)] =tarctan(��t)-��t[d(��t)/(1+��t²)] =tarctan(��t)-��t[dt/(2��t)/(1+t)]��ע���ַ�ź�����t/��t=��t�� =tarctan(��t)-(1/2)��(��t)dt/(1+t)
再问： d(arctan��t)�ѵ�����=1/(1+t)�
原式=【0,x】[tarctan(√t)-(1/2)∫(√t)dt/(1+t)]=xarctan√x-【0,x】(1/2)∫(√t)dt/(1+t)].
设√t=u,则t=u²,dt=2udu,t=0时u=0；t=x时u=√x；于是上式中的第二个积分可求解如下：
【0,x】(1/2)∫(√t)dt/(1+t)]=【0,√x】∫u²du/(1+u²)=【0,√x】∫[1-1/(1+u²)]du
=[u-arctanu]【0,√x】=√x-arctan√x；
故原式=xarctan√x-(√x-arctan√x)=[(x+1)arctan√x]-√x.
再问： ����������õ��Ƿֲ���ַ�������Ϊʲôԭʽ����=tarctan(��t)-��t.1/1+tdt ?������Ľ����arctan��x(x+1)-x,�鷳���ٰ��ҿ���
再答： ���arctant��������ˣ� ��arctan(��t)dt=tarctan(��t)-��td[arctan(��t)] =tarctan(��t)-��t[d(��t)/(1+��t²)] =tarctan(��t)-��t[dt/(2��t)/(1+t)]��ע���ַ�ź�����t/��t=��t�� =tarctan(��t)-(1/2)��(��t)dt/(1+t)
再问： d(arctan��t)�ѵ�����=1/(1+t)�
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