作业帮求下列级数收敛与否 若收敛 求和
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 08:20:06
求下列级数收敛与否 若收敛 求和
我们用数学归纳法证明arctan(n/(n+2))=arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1)).
n=1时易见成立.假设n=k时成立,则对n=k+1.
arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1))=arctan((n-1)/(n+1))+arctan(1/(n²+n+1)).
两个角均 < π/4,和 < π/2,而算得tan(arctan((n-1)/(n+1))+arctan(1/(n²+n+1)))
=((n-1)/(n+1)+1/(n²+n+1))/(1-1/(n²+n+1)*(n-1)/(n+1))
=(n³+n)/(n³+2n²+n+2)=n/(n+2).n=k+1时也成立.于是命题对全体正整数成立.
当n趋于无穷,部分和arctan(n/(n+2))收敛到arctan(1)=π/4.
再问： 有不是数学归纳法的证明手段吗
再答： 可以这样, 由π/4 ≤ arctan(n) < arctan(n+1) < π/2, 而tan(arctan(n+1)-arctan(n)) = 1/(n²+n+1), 得arctan(n+1)-arctan(n) = arctan(1/(n²+n+1)). 于是arctan(1/3) = arctan(2)-arctan(1), arctan(1/7) = arctan(3)-arctan(2), ... arctan(1/(n²+n+1)) = arctan(n+1)-arctan(n). 相加即得arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1)) = arctan(n+1) - π/4. 令n→∞, 得级数收敛到π/4.
n=1时易见成立.假设n=k时成立,则对n=k+1.
arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1))=arctan((n-1)/(n+1))+arctan(1/(n²+n+1)).
两个角均 < π/4,和 < π/2,而算得tan(arctan((n-1)/(n+1))+arctan(1/(n²+n+1)))
=((n-1)/(n+1)+1/(n²+n+1))/(1-1/(n²+n+1)*(n-1)/(n+1))
=(n³+n)/(n³+2n²+n+2)=n/(n+2).n=k+1时也成立.于是命题对全体正整数成立.
当n趋于无穷,部分和arctan(n/(n+2))收敛到arctan(1)=π/4.
再问： 有不是数学归纳法的证明手段吗
再答： 可以这样, 由π/4 ≤ arctan(n) < arctan(n+1) < π/2, 而tan(arctan(n+1)-arctan(n)) = 1/(n²+n+1), 得arctan(n+1)-arctan(n) = arctan(1/(n²+n+1)). 于是arctan(1/3) = arctan(2)-arctan(1), arctan(1/7) = arctan(3)-arctan(2), ... arctan(1/(n²+n+1)) = arctan(n+1)-arctan(n). 相加即得arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1)) = arctan(n+1) - π/4. 令n→∞, 得级数收敛到π/4.