设数列{an}的前几项和为Sn，且Sn-Sn-1=Sn•Sn-1（n≥2，Sn≠0），a1=2/9 ①求证：{1/Sn}

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 19:56:46

设数列{a_n}的前几项和为S_n，且S_n-S_n-1=Sn•S_n-1（n≥2，S_n≠0），a₁=2/9 ①求证：{1/S_n}为等差数列 ②求满足a_n＞a_n-1的自然数n的集合
请详细写一下过程谢谢

解题思路：等式两边同时除以左边的那个乘积，构造成一个新的等差数列，注间n的取值范围。
解题过程：
(1)证明：
因为an=Sn*S(n-1)(n≥2,Sn≠0）
所以Sn-S(n-1)=Sn*S(n-1)(n≥2,Sn≠0）
因为Sn≠0，所以Sn*S(n-1)≠0
方程两边同时除以Sn*S(n-1)，得：
1/S(n-1)-1/Sn=1，即1/Sn=1/S(n-1)-1(n≥2)
所以数列{1/Sn}是以9/2为首项，-1为公差的等差数列.
(2)解：
由(1)得：1/Sn=1/S1+(n-1)d=9/2+(n-1)*(-1)=11/2-n
所以Sn=1/(11/2-n)=2/(11-2n)，则S(n-1)=2/[11-2(n-1)]=2/(13-2n)
所以an=Sn-S(n-1)=2/(11-2n)-2/(13-2n)=4/[(2n-11)*(2n-13)](n≥2)
当n=1时，a1不符合an=4/[(2n-11)*(2n-13)]
当n=2时，a2=4/63<2/9=a1，不符合题意；
当n>2时，an=4/[(2n-11)*(2n-13)]
由平方差公式：
(2n-11)*(2n-13)=[(2n-12)+1]*[(2n-12)-1]=[2(n-6)]^2-1=4*(n-6)^2-1
则an=4/[4*(n-6)^2-1].
设f(n)=4*(n-6)^2-1.
当2<n≤5时，4*(n-6)^2-1>0，f(n)依次递减
所以an=4/[4*(n-6)^2-1]依次递増，符合an>a（n-1）且a5=4/3；
当n=6时，a6=-4<4/3=a5，不符合题意；
当n=7时，a7=4/3>a6，符合题意；
当n>7时，4*(n-6)^2-1>0且f(n)依次递増，则an依次递减，不符合题意；
所以综上所述，求满足an>a（n-1）的自然数n的集合是{3，4，5，7}.

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Sn-1/2Sn-1 +1,a1=2,求证{1/Sn}是等差数列已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn*Sn-1=0,a1=1/2.求证：{1/Sn}是等差数列已知数列an的前n项和为Sn,且an+2Sn*Sn-1=0,a1=1/2,求证1/SN是等差数列,求数列SN的的通项公式已知数列{an}的前项和为sn，且满足sn=sn-12sn-1+1(n≥2)，a1=2．设Sn是数列an的前n项和,已知a1=1,an=-Sn*Sn-1,（n大于等于2）,则Sn= 已知数列an是等差数列,且a1≠0,Sn为这个数列的前n项和.求1、lim nan/Sn 2、lim (Sn+Sn+1) 设数列an的前n项和为Sn,a1=1 ,an = 2Sn²/2Sn-1 （n≥2）已知数列{an}的首相a1=1,a2=3,前n项和为Sn,且Sn+1（下标）、Sn、Sn-1（下标）（n≥2）满足（Sn 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn+Sn-1=0(n≥2),a1+1/2 已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且a1不等于0,求（n*an)/Sn的极限、（Sn+Sn+1）/(Sn+Sn-1) 已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=Sn-1/2Sn-1+1,a1=1/2(1)求证:1/Sn是等差数列(2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn-Sn-1=2SnSn-1（n≥2）．