已知函数f（x）=ex，（x∈R）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/26 12:07:27

已知函数f（x）=e^x，（x∈R）．
（1）求f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）证明：曲线y=f（x）与曲线y=

（1）f′（x）=e^x，则f'（1）=e，f（x）点（1，e）处的切线方程为：y-e=e（x-1），y=ex；
（2）证明：令 h(x)＝f(x)−
1
2x2−x−1＝ex−
1
2x2−x−1，x∈R，则h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1，且h（0）=0，h′（0）=0，h″（0）=0
因此，当x＜0时，h″（x）＜0，y=h′（x）单调递减；当x＞0时，h″（x）＞0，y=h′（x）单调递增．
所以y=h′（x）≥h′（0）=0，所以y=h（x）在R上单调递增，又h（0）=0，即函数h（x）有唯一零点x=0，
所以曲线y=f（x）与曲线y＝
1
2x2+x+1有唯一公共点（0，1）；
（3）设a＜b，
f（
a+b
2）-
f(b)−f(a)
b−a=
(b−2+a) +(b−2+a)eb−a•ea
2(b−a)，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，∴
(b−2+a) +(b−2+a)eb−a•ea
2(b−a)＞0，
即f（
a+b
2）＞
f(b)−f(a)
b−a．

（2013•陕西）已知函数f（x）=ex，x∈R．已知函数f（x）=ex，x∈R．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex．已知函数f（x）=ex-ax，a∈R．已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R．（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（2013•长春一模）已知函数f（x）=ex（ax2-2x-2），a∈R且a≠0．已知函数f(x)=ex-kx,x属于R（e是自然对数的底数）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex,其中e是自然对数的底数,a∈R．若a=-1存在k∈R使得方程f（x）=k有3 （2011•北京）已知函数f（x）=（x-k）ex．已知函数f（x）=ex+2x2-3x．