已知f(x)在(0,∞)内可导,f(x)>0.lim(x→∞)f(x)=1,且满足lim(n→0)（f(x+nx)/f(

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 22:56:25

已知f(x)在(0,∞)内可导,f(x)>0.lim(x→∞)f(x)=1,且满足lim(n→0)（f(x+nx)/f(x)）^(1/6)=e^(1/x).求f(x).
题目不小心打错了，我重发一下已知f(x)在(0,∞)内可导,f(x)>0。lim(x→∞)f(x)=1,且满足lim(n→0)（f(x+nx)/f(x)）^(1/n)=e^(1/x)。求f(x)。

lim(n→0)（f(x+nx)/f(x)）^(1/6)=[lim(n→0)f(x+nx)^(1/6)]/[f(x)^(1/6)]
又lim(n→0)f(x+nx)=f(x)
所以lim(n→0)（f(x+nx)/f(x)）^(1/6)=1 所以题目有问题
如果n->0变成n->∞则有lim(n→∞)f(x+nx)=1
所以e^(1/x)=f(x)^(-1/6)=>f(x)=e^(-6/x)
再问：不好意思，题目打错了，不是1/6，是1/n。已知f(x)在(0,∞)内可导,f(x)>0。lim(x→∞)f(x)=1,且满足lim(n→0)（f(x+nx)/f(x)）^(1/n)=e^(1/x)。求f(x)。能再做一下吗？？
再答：令y=nx,则n=y/x,所以e^(1/x)=lim(n→0)(f(x+nx)/f(x))^(1/n)=lim(y→0)(f(x+y)/f(x))^(x/y) =lim(y→0)e^[(x/y)ln(f(x+y)/f(x))]=lim(y→0)e^[x(lnf(x+y)-lnf(x))/y] 记g(x)=lnf(x) ，则上式=lim(y→0)e^[x(g(x+y)-g(x))/y]=e^(xg'(x)) 即1/x=xg'(x)=>g'(x)=1/x²=>g(x)=C-1/x 因为lim(x→∞)f(x)=1=>lim(x→∞)e^g(x)=1=>lim(x→∞)g(x)=0=>C=0 所以最后f(x)=e^g(x)=e^(-1/x),x>0

已知 lim(x->+∞)f'(x)=0 证明：lim(x->+∞)f(x)=常数已知lim(x→0) [f(0)-f(2x)]/x=1,求f'(0). 已知f(x)=ln(1+x) 求lim(x→0) f(x)/x 设f(x)是可导函数且f(0)=0,F(x)=∫t^(n-1)f(x^n-t^n)dt,求lim(x→+∞)F(x)/x 函数f(x)在[1,+∞)上具有连续导数,且lim(x→+∞)f'(x)=0,则... 设f(x)在0到正无穷大上可导,f(x)>0,limf(x)=1(x趋向正无穷大）,若lim[f(x+nx)/f(x)] 已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,f'(0)=2,则lim(x→0)[f(sin3x)]/x=____. 已知lim(x→0) f(x)/(1-cosx) =2 求lim(x→0) [1+f(x)]^½ 设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫(上x下0)tf'(x-t)dt求lim(x->-∞)f(x) 设f（x）在x=0处连续,且lim （f（x）-1）/x=-1,x→0.,求f(0) 已知f'(0)=5,且f(0)=0,求lim(x→0)f(x)/x 设函数f(x)在(a,+∞ )上可导,且lim(x->+∞ )(f(x)+f'(x))=0,证明:lim(x->+∞ )