作业帮角平分线和全等三角形的综合应用
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 03:43:05
已知，∠BAC=90°，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD于E （1）求证：ＢＤ＝２ＥＣ （２）连接ＡＥ，求证：∠ＡＥＢ＝４５° （３）过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ垂足为点Ｇ，交ＢＤ于点Ｆ，写出ＢＦ与ＣＥ的大小关系，并证明。 不好意思啊，之前这道题目第2问有问题，望老师见谅！
解题思路： 相似， 全等
解题过程：
【【【【1】】】】
作辅助线：延长BA 与CE,
可设两延长线交于点M.
由题设可知：∠ABE＝∠CBE(角平分线的意义)
且∠BEM=∠BEC=90º
∴RtΔBEM≌RtΔBEC, (A, S, A)
∴EC=ED=(½)CM
即：CM=2EC.
在RtΔABD与RtΔACM中
∠BAC=∠CAM=90º (已知）
BA=CA (已知）
∠ABD=∠ACM (等角的余角相等，二者是对顶角∠ADB=∠EDC的余角）
∴RtΔABD≌RtΔACM. (A, S, A)
∴BD=CM=2EC (等量代换）
【【【【2】】】】
显然，ΔMBE∽ΔMCA
∴ME∶MA=MB∶MC
上面这个等式可化为：
ME∶MB=MA∶MC. (始终保持内项的积=外项的积）
∴ΔMAE∽ΔMCB. （对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似）
∴∠MEA=∠MBC=45º.(相似三角形对应角相等）
∴∠AEB=45º (∵∠MEA+∠AEB=90º.)
【【【【3】】】】】】
为了方便，不妨假设BG=CG=AG=1,(假设AG=x的结果是一样的。）
在ΔABG中，BF是平分线，AG=BG=1, AB=√2.
假设FG=x, 则FA=1-x
由三角形角平分线定理可得：
FG∶BG=FA∶BA
∴x∶1=(1-x)∶√2.
∴解得：FG=x=-1+√2
在RtΔBFG中，BG=1,FG=-1+√2.
由勾股定理可得：BF=√(4-2√2)
易知，RtΔBEC∽RtΔBGF
∴CE∶FG=BC∶BF (相似三角形对应边成比例）
∴CE=(FG×BC)÷BF （内项的积=外项的积）
=[2(-1+√2)]÷[√(4-2√2)]
=[(√2)(2-√2)]÷[(√2)√(2-√2)]
=√(2-√2)
∴BF=√(4-2√2). CE=√(2-√2)
∴BF=(√2)CE＞CE
很高兴为你解题，请慢慢看。
如有问题请及时联系，或提交讨论。
祝你进步。
最终答案：略
解题过程：
【【【【1】】】】
作辅助线：延长BA 与CE,
可设两延长线交于点M.
由题设可知：∠ABE＝∠CBE(角平分线的意义)
且∠BEM=∠BEC=90º
∴RtΔBEM≌RtΔBEC, (A, S, A)
∴EC=ED=(½)CM
即：CM=2EC.
在RtΔABD与RtΔACM中
∠BAC=∠CAM=90º (已知）
BA=CA (已知）
∠ABD=∠ACM (等角的余角相等，二者是对顶角∠ADB=∠EDC的余角）
∴RtΔABD≌RtΔACM. (A, S, A)
∴BD=CM=2EC (等量代换）
【【【【2】】】】
显然，ΔMBE∽ΔMCA
∴ME∶MA=MB∶MC
上面这个等式可化为：
ME∶MB=MA∶MC. (始终保持内项的积=外项的积）
∴ΔMAE∽ΔMCB. （对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似）
∴∠MEA=∠MBC=45º.(相似三角形对应角相等）
∴∠AEB=45º (∵∠MEA+∠AEB=90º.)
【【【【3】】】】】】
为了方便，不妨假设BG=CG=AG=1,(假设AG=x的结果是一样的。）
在ΔABG中，BF是平分线，AG=BG=1, AB=√2.
假设FG=x, 则FA=1-x
由三角形角平分线定理可得：
FG∶BG=FA∶BA
∴x∶1=(1-x)∶√2.
∴解得：FG=x=-1+√2
在RtΔBFG中，BG=1,FG=-1+√2.
由勾股定理可得：BF=√(4-2√2)
易知，RtΔBEC∽RtΔBGF
∴CE∶FG=BC∶BF (相似三角形对应边成比例）
∴CE=(FG×BC)÷BF （内项的积=外项的积）
=[2(-1+√2)]÷[√(4-2√2)]
=[(√2)(2-√2)]÷[(√2)√(2-√2)]
=√(2-√2)
∴BF=√(4-2√2). CE=√(2-√2)
∴BF=(√2)CE＞CE
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祝你进步。
最终答案：略