作业帮数学归纳法证明棣莫弗公式.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 20:14:40
数学归纳法证明棣莫弗公式.
根据两复数相乘的公式,设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x')
则Z*Z'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))
令Z=Z',得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)
继续用Z乘这个式子,得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)
设当n=k－1时,有Z^n=r^(k－1)(cos (k－1)x+isin(k－1)x)
则n=k时
Z^n=r^(k－1)(cos (k－1)x+isin(k－1)x)×r(cos x+isin x)
=r^k[cos (k－1)xcos x－sin(k－1)xsin x＋i﹙sin(k－1)xcos x＋sin xcos (k－1)x﹚]
=r^k(cos kx+isinkx),也成立
∴n∈N,Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
或者不用数学归纳法,可以这样证明：
引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t,sint ,cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^2/2!+ t^3/3!+ …… + t^n/n!+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ,可得欧拉公式
应用欧拉公式,（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
则Z*Z'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))
令Z=Z',得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)
继续用Z乘这个式子,得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)
设当n=k－1时,有Z^n=r^(k－1)(cos (k－1)x+isin(k－1)x)
则n=k时
Z^n=r^(k－1)(cos (k－1)x+isin(k－1)x)×r(cos x+isin x)
=r^k[cos (k－1)xcos x－sin(k－1)xsin x＋i﹙sin(k－1)xcos x＋sin xcos (k－1)x﹚]
=r^k(cos kx+isinkx),也成立
∴n∈N,Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
或者不用数学归纳法,可以这样证明：
引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t,sint ,cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^2/2!+ t^3/3!+ …… + t^n/n!+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ,可得欧拉公式
应用欧拉公式,（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)