1+2的平方+3的平方+……+n的平方,和怎么计算
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 09:24:37
1+2的平方+3的平方+……+n的平方,和怎么计算
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注:N^2=N的平方)
证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6
证法一(归纳猜想法):
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注:N^2=N的平方)
证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6
证法一(归纳猜想法):
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
计算:100的平方-99的平方+98的平方-97的平方+……+4的平方-3的平方+2的平方-1的平方
计算:100的平方-99的平方+98的平方-97的平方+…+4的平方-3的平方+2的平方-1的平方
计算:1的平方-2的平方+3的平方-4的平方+5的平方-6的平方+…+99的平方-100的平方
1的平方加2的平方加3的平方……加到n的平方怎么算?
1的平方+2的平方+3的平方+...+n的平方=6分之n[n+1][2n+1],计算11的平方+12的平方
1的平方+2的平方+3的平方+4的平方………+n的平方 等于多少?
计算:100的平方-99的平方+98的平方-97的平方+……+4的平方-3的平方+2 的平方-1的
1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+……+n的平方这通项公式怎么推断?
输入一个正整数N,1平方-3平方+...+(2N-1)平方计算 的值.
1平方加2的平方加3的平方一直加下去加到N 怎么计算啊?
计算:(3m-2n的平方)的平方
利用平方差公式计算100平方 -99平方+98平方-97平方+96平方-95平方+…+2平方-1的值吗