已知函数fx=x-1/2ax^2-ln(1+x) . 求 1,fx的单调区间 2,若fx在[0,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/11 19:25:19
已知函数fx=x-1/2ax^2-ln(1+x) . 求 1,fx的单调区间 2,若fx在[0,
+∞)上的最大值是0,求a的取值范围
+∞)上的最大值是0,求a的取值范围
解析如下:
f′(x)=
x(1-a-ax)x+1,x∈(-1,+∞).
依题意,令f'(2)=0,解得 a=
13.
经检验,a=
13时,符合题意.…(4分)
①当a=0时,f′(x)=
xx+1.
故f(x)的单调增区间是(0,+∞);单调减区间是(-1,0).
②当a>0时,令f'(x)=0,得x1=0,或x2=
1a-1.
当0<a<1时,f(x)与f'(x)的情况如下:
x(-1,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)-0+0+f(x)↘f(x1)↗f(x2)↘所以,f(x)的单调增区间是(0,
1a-1);单调减区间是(-1,0)和(
1a-1,+∞).
当a=1时,f(x)的单调减区间是(-1,+∞).
当a>1时,-1<x2<0,f(x)与f'(x)的情况如下:
x(-1,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f'(x)-0+0+f(x)↘f(x2)↗f(x1)↘所以,f(x)的单调增区间是(
1a-1,0);单调减区间是(-1,
1a-1)和(0,+∞).
③当a<0时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);单调减区间是(-1,0).
综上,当a≤0时,f(x)的增区间是(0,+∞),减区间是(-1,0);
当0<a<1时,f(x)的增区间是(0,
1a-1),减区间是(-1,0)和(
1a-1,+∞);
当a=1时,f(x)的减区间是(-1,+∞);
当a>1时,f(x)的增区间是(
1a-1,0);减区间是(-1,
1a-1)和(0,+∞).
…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(0)=0,知不合题意.
当0<a<1时,f(x)在(0,+∞)的最大值是f(
1a-1),
由f(
1a-1)>f(0)=0,知不合题意.
当a≥1时,f(x)在(0,+∞)单调递减,
可得f(x)在[0,+∞)上的最大值是f(0)=0,符合题意.
所以,f(x)在[0,+∞)上的最大值是0时,a的取值范围是[1,+∞).…(12分)
f′(x)=
x(1-a-ax)x+1,x∈(-1,+∞).
依题意,令f'(2)=0,解得 a=
13.
经检验,a=
13时,符合题意.…(4分)
①当a=0时,f′(x)=
xx+1.
故f(x)的单调增区间是(0,+∞);单调减区间是(-1,0).
②当a>0时,令f'(x)=0,得x1=0,或x2=
1a-1.
当0<a<1时,f(x)与f'(x)的情况如下:
x(-1,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)-0+0+f(x)↘f(x1)↗f(x2)↘所以,f(x)的单调增区间是(0,
1a-1);单调减区间是(-1,0)和(
1a-1,+∞).
当a=1时,f(x)的单调减区间是(-1,+∞).
当a>1时,-1<x2<0,f(x)与f'(x)的情况如下:
x(-1,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f'(x)-0+0+f(x)↘f(x2)↗f(x1)↘所以,f(x)的单调增区间是(
1a-1,0);单调减区间是(-1,
1a-1)和(0,+∞).
③当a<0时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);单调减区间是(-1,0).
综上,当a≤0时,f(x)的增区间是(0,+∞),减区间是(-1,0);
当0<a<1时,f(x)的增区间是(0,
1a-1),减区间是(-1,0)和(
1a-1,+∞);
当a=1时,f(x)的减区间是(-1,+∞);
当a>1时,f(x)的增区间是(
1a-1,0);减区间是(-1,
1a-1)和(0,+∞).
…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(0)=0,知不合题意.
当0<a<1时,f(x)在(0,+∞)的最大值是f(
1a-1),
由f(
1a-1)>f(0)=0,知不合题意.
当a≥1时,f(x)在(0,+∞)单调递减,
可得f(x)在[0,+∞)上的最大值是f(0)=0,符合题意.
所以,f(x)在[0,+∞)上的最大值是0时,a的取值范围是[1,+∞).…(12分)
已知函数fx=x-1/2ax^2-ln(1+x) . 求 1,fx的单调区间 2,若fx在[0,
已知函数fx=ln ax+1 +1-x/1+x,x≥0,其中a>0,求1.fx的单调区间 2
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