能否举例说明：定义域为（1,+无穷）的函数f（x）无极限,但|f（x）|有极限?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 17:00:26

f(x)+f(x+1)=0
f(x)=1,x∈(1,2]
此时函数是周期性的分段函数,一会儿1一会儿-1,limx->∞f(x)无极限
但是|f(x)|有极限,常函数1
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举个例子,f(x)=-sgn(sinπx)
再问： |f(x)|应该不是常函数1吧？而是一大堆线段。因为当x为偶数时，函数值为0啊。所以|f(x)|是不连续的。所以没有极限。
再答：哦那个例子不合适，那就按我第一次说的呗，f(x+1)=-f(x)
当x∈(1,2]时f(x)=1
这样就行了
或者
f(x)=-sgn(sinπx),当x不为整数
f(x)=1,当x为整数
这种小问题没必要在意，反正能明白意思啊
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或者这个f(x)=-sgn(sgn(sinπx)+1/2)
没意见了吧
再问：那就要面临一个问题：常数函数是否有极限？极限值是否就是本身？
这个例子总感觉有点似是而非。还有别的例子吗？
再答：当然有，你看极限的定义
大不了你把它当个系数，随便在后面乘以一个不是收敛于0的收敛函数
f(x)=-sgn(sgn(sinπx)+1/2)*arctanx
这不就行了
还有什么异议？
楼主到底想知道什么？

函数f（x）=1/x,当x→∞时,f（x）的极限为0,这样按照有极限必收敛来看,这个函数应该收敛且有界,但实证明：若x趋于正无穷及x趋于负无穷时,函数f(x)的极限都存且都等于A,则函数f（x）的极限为A 自变量的同一变化过程中,若f(x)的极限存在,g（x）无极限,那么f(x)+g(x)是否有极限? 已知函数y=f(x)的定义域为（0,正无穷）,且f(x)=2f(1/x)+x,则f(x) 是当x→∞时,函数f(x)=x=cosx是（） A 无穷小量 B 无穷大量 C 有极限且极限不为0 D 有界函数证明：若f(x)的极限是0,且g(x)在（a,正无穷）有界,则f(x)g(x)的极限等于0. 若函数f（x）在负无穷到正无穷上连续,当x趋向负无穷时和x趋向正无穷时f（x）的极限都存在,则函数f（x）一致连续. 函数极限存在在x趋向正无穷时,已知函数f(x)的极限存在,为常数C有 f(x)=g(x)/h(x)其中 h(x)的极限为已知函数y=f(x+1)的定义域为【-2,3】,则函数f(2x-1)的定义域为?（我知道答案,但有疑问）. 函数f(x),x趋近于负无穷：它的导数的极限为A并且小于0 求证函数f(x)的极限是负无穷 x趋近正无穷时,f'(x)的极限趋近正无穷,能否推出x趋近正无穷时,f(x)极限趋近正无穷,如何证明函数y=f(x)的定义域为(0,正无穷),且对于定义域内的任意x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),且f（2）=1