塞瓦定理的应用将△ABC各内角三等分,每两个角的相邻三等分线相交得△PQR,又AX,BY,CZ分别分∠BAC,∠ABC,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 05:29:55

塞瓦定理的应用
将△ABC各内角三等分,每两个角的相邻三等分线相交得△PQR,又AX,BY,CZ分别分∠BAC,∠ABC,∠ACB且它们与QR,RP,PQ,交于X,Y,Z.求证：PX,QY,RZ三线共点(最好附图解释)

1) 由AR、AQ三等分∠BAC,AX平分∠BAC可知AX平分∠RAQ,根据角平分线定理可知RX/QX=AR/AQ
2) 同理QZ/PZ=CQ/CP,PY/RY=BP/BR,于是(RX/QX)*(QZ/PZ)*(PY/RY)=(AR/AQ)*(CQ/CP)*(BP/BR)=(AR/BR)*(BP/CP)*(CQ/AQ)
3) 根据正弦定理AR/BR=sin(B/3)/sin(A/3),BP/CP=sin(C/3)/sin(B/3),CQ/AQ=sin(A/3)/sin(C/3),于是(RX/QX)*(QZ/PZ)*(PY/RY)=(AR/BR)*(BP/CP)*(CQ/AQ)=[sin(B/3)/sin(A/3)]*[sin(C/3)/sin(B/3)]*[sin(A/3)/sin(C/3)]=1
4) 根据塞瓦定理的逆定理可知PX、QY、RZ三线共点
关于塞瓦定理请参考：http://baike.baidu.com/view/148207.htm
顺便说一下,△PQR是等边三角形,这是有名的Morley定理

将△ABC的高AD三等分，分别过两个分点作底边的平行线把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1、S2、S3，则S1：S 已知X=2 Y=3 Z=1是方程组 ax+by+cz=4,ax-by-cz=4 ax-by+cz=10的解,求abc的值如图,在△ABC中,∠A=42度,∠B和∠C的三等分线分别交于D、E两点,求∠BDC、∠BEC的在△ABC中,内角∠BAC的平分线与外角∠DBC的平分线相交于O点,连接CO .求证：CO平分△ABC的外角∠BCE 如图在三角形ABC中∠ABC和∠ACB的三等分线交与DE两点,求证:角BDC=60度+2/3角A 如图,BD,BE,CD,CE分别是∠ABC与∠ACB的三等分线,那么∠BDC,∠BEC与∠A有什么关系? 我们知道,任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点,如图,若△ABC的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥AI分别交A HELP!已知三角形ABC中,AB=AC=a,角BAC=x,等边三角形PQR的三边分别过A,B,C,三点.试求三角形PQ △ABC的外角平分线BF,CG相交于点P.求证;AP平分∠BAC. △ABC的外角平分线BF,CG相交与点P.求证：AP平分∠BAC. △ABC的外角平分线BF,CG相交于点P.求证：AP平分∠BAC. 在三角形ABC中,点D.E分别角ACB与角ABC三等分线的交点,若角A60度,求角CDE