设函数f(x)=x(e^x-1)-ax² a属于R
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/28 00:57:26
设函数f(x)=x(e^x-1)-ax² a属于R
1.若a=1/2 求f(x)的单调增区间 (这步我已经写出来了,主要求解第二步)
2.若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
1.若a=1/2 求f(x)的单调增区间 (这步我已经写出来了,主要求解第二步)
2.若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
第二个问题:
∵f(x)=x(e^x-1)-ax^2,∴f(0)=0.
∴f(x)≧0在区间[0,+∞)上恒成立,∴需要:f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
∴需要:f′(x)=e^x-1+xe^x-2ax>0.
∵f′(0)=0,∴需要f′(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
∴需要:f″(x)=e^x+e^x+xe^x-2a=2e^x+xe^x-2a>0.······①
令g(x)=2e^x+xe^x,则:
g′(x)=2e^x+e^x+xe^x=3e^x+xe^x,g″(x)=3e^x+e^x+xe^x=4e^x+xe^x.
显然,在区间[0,+∞)上,g′(x)>0、g″(x)>0,∴在g′(x)=0时,g(x)有最小值.
令g′(x)=0,得:3e^x+xe^x=0,∴x=-3,∴g(-3)=2/e^3-3/e^3=-1/e^3.
∴g(x)=2e^x+xe^x的最小值是-1/e^3.
∴要使①恒成立,就需要:-2a<-1/e^3,∴2a>1/e^3,∴a>1/(2e^3).
∴满足条件的a的取值范围是(1/(2e^3),+∞).
∵f(x)=x(e^x-1)-ax^2,∴f(0)=0.
∴f(x)≧0在区间[0,+∞)上恒成立,∴需要:f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
∴需要:f′(x)=e^x-1+xe^x-2ax>0.
∵f′(0)=0,∴需要f′(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
∴需要:f″(x)=e^x+e^x+xe^x-2a=2e^x+xe^x-2a>0.······①
令g(x)=2e^x+xe^x,则:
g′(x)=2e^x+e^x+xe^x=3e^x+xe^x,g″(x)=3e^x+e^x+xe^x=4e^x+xe^x.
显然,在区间[0,+∞)上,g′(x)>0、g″(x)>0,∴在g′(x)=0时,g(x)有最小值.
令g′(x)=0,得:3e^x+xe^x=0,∴x=-3,∴g(-3)=2/e^3-3/e^3=-1/e^3.
∴g(x)=2e^x+xe^x的最小值是-1/e^3.
∴要使①恒成立,就需要:-2a<-1/e^3,∴2a>1/e^3,∴a>1/(2e^3).
∴满足条件的a的取值范围是(1/(2e^3),+∞).
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) a属于R
设函数f(x)=ax²-xlnx-(2a-1)x+a-1(a属于R) 0时,f
设a∈R,函数f(x)=(x^2-ax-a)e^x.
设a属于R,函数f(x)=ax^3-3x^2……
设函数f(x)=Inx+x^2-2ax+a^2,a属于R,求f(x)极值点
已知函数f(x)=ax²+2bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)=f(x),x>0或-f(x),x
设a属于R,函数f(x)=ax^3-3x^2,(1)x=2是函数y=f(x)的极值点.
设a属于R,函数f(x)=ax^2-2x-2a,若f(x)>0的解集为A,B={x\1
已知函数f(X)=(aX^2+X)e^x,其中e是自然对数的底数,a属于R.(1)若f(x)在[
已知函数f(x)=e的x次方+ax-1(a属于R,且a为常数)
已知函数f(x)=e的x次方+ax-1(a属于R,且a为常数).
设函数f(x)=x^2+ax+b,(a,b属于R)已知不等式|f(x)|