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如图,△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB上的一点,且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点,以EC为直径的⊙O经过点D

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 16:20:38
如图,△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB上的一点,且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点,以EC为直径的⊙O经过点D。
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CD的弦心距为1,BE=ED.求BD的长.
(1)证明:连结OD,
∵∠DOB=2∠DCB
又∵∠A=2∠DCB
∴∠A=∠DOB
又∵∠A+∠B=90°
∴∠DOB+∠B=90°
∴∠BDO=90°
∴OD⊥AB
∴AB是⊙O的切线
(2)解法一:过点O作OM⊥CD于点M
∵OD=OE=BE= BO
∠BDO=90°
∴∠B=30°
∴∠DOB=60°
∴∠DCB=30°OD=OC=2OM=2
∴BO=4,
∴BD=
(2)解法二:过点O作OM⊥CD于点M,连结DE,
∵OM⊥CD,∴CM=DM
又∵OC=OE∴DE=2OM=2
∵Rt△BDO中,OE=BE
∴DE= BO∴BO=4,
∴OD=OE=2,∴ BD=

                     ①                                                 ②