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已知数列an的前n项和为sn,数列bn满足bn=log2(an+1),a1=1且对于任意n大于等于有an=2an-1+1

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 04:22:16
已知数列an的前n项和为sn,数列bn满足bn=log2(an+1),a1=1且对于任意n大于等于有an=2an-1+1
已知数列an的前n项和为sn,数列bn满足bn=log2(an+1),a1=1且对于任意n大于等于2,n属于N*,有an=2an-1 +1(1)求an通项公式(2)若cn=an*bn,求数列cn的前n项和Tn
1.
n≥2时,
an=2a(n-1)+1
an+1=2a(n-1)+2=2[a(n-1)+1]
(an+1)/[a(n-1)+1]=2,为定值
a1+1=1+1=2,数列{an +1}是以2为首项,2为公比的等比数列
an +1=2×2^(n-1)=2ⁿ
an=2ⁿ-1
n=1时,a1=2-1=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1
2.
bn=log2(an+1)=log2(2ⁿ)=n
cn=an·bn=n·(2ⁿ-1)=n·2ⁿ-n
Tn=c1+c2+...+cn=(1×2+2×2²+...+n×2ⁿ)-(1+2+...+n)
令Cn=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ
则2Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2²+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1) -2
Cn=(n-1)×2^(n+1) +2
Tn=Cn-(1+2+...+n)
=(n-1)×2^(n+1) +2 -n(n+1)/2