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（2014•福州一模）已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx（x∈R）．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/21 16:21:30
（2014•福州一模）已知函数f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量
m
=（1，sinA）与向量
n
=（2，sinB）共线，求a，b的值．
（I）∵f(x)＝2cos2x+
3sin2x=cos2x+
3sin2x+1=2sin(2x+
π
6)+1．
令−
π
2+2kπ≤2x+
π
6≤
π
2+2kπ，k∈Z，
解得2kπ−
2π
3≤2x≤2kπ+
π
3，即kπ−
π
3≤x≤kπ+
π
6，
∵x∈[0，
π
2]，∴f（x）的递增区间为[0，
π
6]．
（Ⅱ）由f(C)＝2sin(2C+
π
6)+1＝2，得sin(2C+
π
6)＝
1
2．
而C∈（0，π），∴2C+
π
6∈(
π
6，
13π
6)，∴2C+
π
6＝
5
6π，可得C＝
π
3．
∵向量向量

m=（1，sinA）与向量

n=（2，sinB）共线，∴
sinA
sinB＝
1
2，
由正弦定理得：
a
b=
1
2 ①．
由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab•cosC，即9=a2+b2-ab ②，
由①、②解得a＝
3，b＝2
3．
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