已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 HP • PM =0， PM =- 3

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 01:58:44

解（1）设点M的坐标为（x，y），
由
PM =-
3
2
MQ ．得 P(0，-
y
2 )，Q(
x
3 ，0) ，
由
HP •
PM =0 ，得 (3，-
y
2 )•(x，
3y
2 )=0 ，
所以y² =4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y² =4x，得k² x² +2（k² -2）x+k² =0①
设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），则x₁ ，x₂ 是方程①的两个实数根，由韦达定理得 x 1 + x 2 =-
2( k 2 -2)
k 2 ， x 1 x 2 =1
所以，线段AB的中点坐标为 (
2- k 2
k 2 ，
2
k ) ，线段AB的垂直平分线方程为 y-
2
k =-
1
k (x-
2- k 2
k 2 ) ，
令 y=0， x 0 =
2
k 2 +1 ，所以，点E的坐标为 (
2
k 2 +1，0) ．
因为△ABE为正三角形，所以，点E (
2
k 2 +1，0) 到直线AB的距离等于
3
2 |AB|，而|AB|=
( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 =
4
1- k 2
k 2 •
1+ k 2 ．
所以，
2
3
1- k 2
k 2 =
2
1+ k 2
|k| 解得 k=±
3
2 ，所以 x 0 =
11
3 ．