对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/24 17:28:12

对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=log_a（x-3a）与g(x)＝loga

x−a

（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．

（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，
必须满足

a+2−3a＞0
a+2−a＞0
0＜a，a≠1⇒0＜a＜1
（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，
则|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|⇒|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1
即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*）
因为a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，
所以函数g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而

[g(x)]max＝g(a+2)＝loga(4−4a)
[g(x)]min＝g(a+3)＝loga(9−6a)
于是不等式（*）成立的充要条件是

loga(4−4a)≤1
loga(9−6a)≥−1
0＜a＜1⇒0＜a≤
9−
57
12
因此，当0＜a≤
9−
57
12时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的；当1＞a＞
9−
57
12时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是不“友好”的．

对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f(x),g(x)对于任意属于[m,n]均有|f(x)-g(x)|>2成立,则称f 设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f（m2-6m 设f(x）是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=0恒成立如果实数m,n满足不等式对于在区间[a,b]上有意义的两个函数f(x)和g(x),如果对任意x∈[a,b],均有│f(x)-g(x)│≤1,那么设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2-x）+f（x）=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组f(m2− 设fx是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f（2-x）＋f（x）＝0恒成立,如果实数m n满足不等式f（m^2-6m 对于在区间对于在区间D上有定义的函数f(x)和g(x）对于区间[m，n]，定义n-m为区间[m，n]的长度，若函数f（x）=ax2-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2,且f（1）=1. 定义在R+上的函数f(x)对于任意m,n属于R+,都有f(mn)=f(m)+f(n),x>1时,f(x) 设f（x）是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足