作业帮计算含参变量积分求导问题(数学分析)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 01:49:46
计算含参变量积分求导问题(数学分析)
在定积分一章中,变上限积分原函数存在定理,提供了一种求导方法.
而在多元函数微分学一章中,讨论了含参量积分的连续性、可微性、可积性.其中可微性内容中又有求含参量积分的导数的公式.
请问这两者内容是否统一?
有以下2题目：
①F(t)=积分（0到2t+1） ln(x^2+t^2)dx ,求 F'(-1)
②f(x)=积分（3到2x-1）[sin(y-x) / (1+y^2)]dy,求 f'(x)
第二个题的被积函数显然应是二元函数.
那么①问题的被积函数是多元函数吗?t是否看作是y?这个疑问是否会影响到①的最终求解?
答好了追加分数.
在定积分一章中,变上限积分原函数存在定理,提供了一种求导方法.
而在多元函数微分学一章中,讨论了含参量积分的连续性、可微性、可积性.其中可微性内容中又有求含参量积分的导数的公式.
请问这两者内容是否统一?
有以下2题目：
①F(t)=积分（0到2t+1） ln(x^2+t^2)dx ,求 F'(-1)
②f(x)=积分（3到2x-1）[sin(y-x) / (1+y^2)]dy,求 f'(x)
第二个题的被积函数显然应是二元函数.
那么①问题的被积函数是多元函数吗?t是否看作是y?这个疑问是否会影响到①的最终求解?
答好了追加分数.
①问题中的被积函数是多元函数,即被积函数为g(x,t)=ln(x²+t²),
过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx
=∫ 2t/(x²+t²)dx
=2arctan(x/t)| [0,2t+1]
=2 arctan[(2t+1)/t]
从而F'(-1)=2arctan1=π/2
不能用变上限积分求导的方法求,因为被积函数是t的函数!
②的方法和①类似
再问： 请问什么的情况下可以用变上限积分求导法？ 问题的第四行，这两者是不是统一的？为什么？您还没有解释呢。
再答： 变上限积分的求导公式如下 F(t)=∫ [a(t), b(t)] f(x)dx，则F'(t)=a'(t) f[a(t)]-b'(t)f[b(t)] 也就是当求导的对象是t时，只有在积分上下限为t的函数，被积函数不含有t的时候才能用以上公式！ 二者不统一，因为①中没办法用上述公式算，你可以计算一下，结果不一样！
再问： t只是一个符号啊...有可能是为了和x区分才换的啊... 变上限积分的求导和含参积分求导区别是什么啊？
再答： 变上限积分求导就是求导对象只在上下限出现，在被积函数中不出现 含参变量积分求导就是求导对象出现在被积函数中 此外，①做的时候我漏了一项，不好意思！应该是 过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx+g(2t+1, t)(2t+1)' =∫ 2t/(x²+t²)dx+2ln [(2t+1)²+t²] =2arctan(x/t)| [0,2t+1]+2ln [(2t+1)²+t²] =2 arctan[(2t+1)/t]+2ln [(2t+1)²+t²] 从而F'(-1)=2arctan1+2ln2
过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx
=∫ 2t/(x²+t²)dx
=2arctan(x/t)| [0,2t+1]
=2 arctan[(2t+1)/t]
从而F'(-1)=2arctan1=π/2
不能用变上限积分求导的方法求,因为被积函数是t的函数!
②的方法和①类似
再问： 请问什么的情况下可以用变上限积分求导法？ 问题的第四行，这两者是不是统一的？为什么？您还没有解释呢。
再答： 变上限积分的求导公式如下 F(t)=∫ [a(t), b(t)] f(x)dx，则F'(t)=a'(t) f[a(t)]-b'(t)f[b(t)] 也就是当求导的对象是t时，只有在积分上下限为t的函数，被积函数不含有t的时候才能用以上公式！ 二者不统一，因为①中没办法用上述公式算，你可以计算一下，结果不一样！
再问： t只是一个符号啊...有可能是为了和x区分才换的啊... 变上限积分的求导和含参积分求导区别是什么啊？
再答： 变上限积分求导就是求导对象只在上下限出现，在被积函数中不出现 含参变量积分求导就是求导对象出现在被积函数中 此外，①做的时候我漏了一项，不好意思！应该是 过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx+g(2t+1, t)(2t+1)' =∫ 2t/(x²+t²)dx+2ln [(2t+1)²+t²] =2arctan(x/t)| [0,2t+1]+2ln [(2t+1)²+t²] =2 arctan[(2t+1)/t]+2ln [(2t+1)²+t²] 从而F'(-1)=2arctan1+2ln2