（2010•淄博二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/20 20:23:22

（2010•淄博二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2．
（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在AA₁上是否存在一点D，使得二面角B₁-CD-C₁的大小为60°．

解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
∴B₁C₁⊥A₁C₁
又由直三棱柱性质知B₁C₁⊥CC₁（1分）∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
∴B₁C₁⊥CD（2分）
由AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点，可知DC＝DC1＝
2，
∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁（4分）
又B₁C₁⊥CD∴CD⊥平面B₁C₁D
又CD⊂平面B₁CD
故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（6分）

（Ⅱ）当AD＝

2
2AA1时二面角B₁-CD-C₁的大小为60°．（7分）
假设在AA₁上存在一点D满足题意，
由（Ⅰ）可知B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
如图，在平面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，则EB₁⊥CD
所以∠B₁EC₁为二面角B₁-CD-C₁的平面角（8分）
∴∠B₁EC₁=60°
由B₁C₁=2知，C1E＝
2
3
3（10分）
设AD=x，则DC＝
x2+1
∵△DCC₁的面积为1∴
1
2
x2+1•
2
3
3＝1
解得