求现代几何学公理公设体系

求现代几何学公理公设体系
如题
请注意是现代几何理论而不是欧氏几何

历史上应用公理化方法的最早典范——欧几里得

欧几里得（Euclid,生卒年代不详,活动于约公元前300）,古希腊数学家.他早年求学于雅典城的柏拉图学园,深谙柏拉图学派的哲学和数学成果.公元前300年左右,他生活在古希腊文化中心亚历山大里亚城,并以授徒的形式从事数学教学工作,产生了相当大的学术影响.
欧几里得著有《几何原本》,这是一部划时代的著作.他首次用公理化方法将古希腊众多的数学家发现的几何命题组织在一个演绎化的体系之中,堪称历史上使用公理化方法的最早典范.书中还包括整数论的许多成果.除此之外,欧几里得还著有《已知数》、《图形剖分》、《二次曲线》和光学、天文学、力学等方面的著作.

撰写《几何原本》的基础和哲学背景

欧几里得在几何研究与教学方面的鼎盛时期,是在公元前300年至公元前295年前后.实际上在这之前300年,古希腊在数学上,特别是在几何学方面,已经取得了相当辉煌的成果,积累了大量的几何知识,形成了将科学理论公理化的思想.
早在公元前580年左右,哲学家泰勒斯就掌握了一些关于相似三角形的知识,并用此计算过船舶离海岸的距离.他还首次对若干数学命题进行过理论证明.从公元前580年至公元前400年,哲学上的毕达哥拉斯学派对自然数、分数和不可公度比有过许多研究,对三角形、平行线、多边形、圆、球和正多面体也有相当的研究,并得出了一些定理,特别是关于直角三角形的毕达哥拉斯定理.这个时期的埃利亚学派的芝诺提出了4个著名的悖论,即“两分法悖论”、“神行太保与乌龟赛跑悖论”、“飞矢不动悖论”和“游行队伍悖论”,迫使哲学家和数学家思考“无限”的问题.原子论学派的德谟克利特大约在公元前410年,用原子法得出“锥体体积是同底等高柱体的1／3”的结论.雅典的巧辩学派的一些学者则致力于3个著名的作图问题,即“化圆为方”、“倍立方”和“三等分任意角”,虽然这些问题本身没有得到解决,但却得到了一些副产品,如把月牙图形化成等面积的直边图形,用边数不断增加的内接多边形来接近圆面积的结论,等等.继巧辩学派之后的柏拉图学派,对数学作出了更多的贡献.他们提倡数学的抽象性,关心数学的证明,关心推理过程的方法论.他们界定了许多数学概念,推动了立体几何的研究,发现了圆锥曲线.这个学派的重要人物欧多克索斯创立了比例论,把算术问题转化成几何问题,发明了穷竭法.
亚里士多德是柏拉图的学生,他是古希腊形式逻辑的奠基者.比较完整的关于可以把一个成熟的科学理论公理化的思想,最早是由他提出来的.他认为,一门成熟的科学理论是可以通过公理化方法将其组织在一个演绎体系之中的.这个体系的最高层,即逻辑出发点,是“公设”与“公理”.亚里士多德把公设与公理区别开来,他认为公理是一切科学所公有的真理,而公设只是为某一门具体学科所接受的真理.这个体系的基层则是“定理”.定理是用演绎逻辑的方法从公理和公设中推演出来的,或者说是被证明出来的.亚里士多德认为,这种公理化方法应该满足如下3个要求：1．公理与公设是不证自明的真理；2．定理与公理和公设之间有逻辑演绎关系；3．定理应和经验事实一致.
欧几里得早年在雅典柏拉图学园求学,公元前300年后又到亚历山大里亚城从事学术活动,当时柏拉图学园已迁移到该城.欧几里得的学术生涯与柏拉图学派密切相关,从这个学派他了解并掌握了前人和同时代人的数学研究成果.欧几里得的学术活动在亚里士多德之后,他深受亚里士多德逻辑学特别是公理化思想的影响.于是,应用亚里士多德的公理化思想将既有的古希腊几何知识组织在一个演绎体系中去的任务,就历史地落在了欧几里得身上.欧几里得的《几何原本》就是在这种文化条件和基础上产生的.它既是一本写给数学家看的学术论著,又是写给学生用的课本.

欧几里得是怎样把几何知识公理化的

面对一大堆零碎的、片断的几何知识,欧几里得欲将其公理化,就必须从中遴选出少数几条不证自明的命题作为演绎系统的出发点即公理和公设,这是将几何理论公理化的至关重要的第一步.
欧几里得的《几何原本》共含13篇.在第1篇中,欧几里得首先给出关于点、线、面、直线、平面、圆等23个基本概念的定义,然后在这个基础上给出几何学理论的5条公设和5条公理.其公设是：1．从任一点到任一点可作直线；2．把有限直线不断循直线延长是可能的；3．以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的；4．所有直角彼此相等；5．若一直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点.其公理是：1．跟同一件东西相等的一些东西,它们彼此也是相等的；2．等量加等量,总量仍相等；3．等量减等量,余量仍相等；4．彼此重合的东西是相等的；5．整体大于部分.
认定上述命题可以作为几何学的公设和公理,这是欧几里得的独创和对几何学的贡献.上述绝大部分命题,皆具有简明性、真理性,而且其真理性是不证自明的.第1、2、3条公设说的是可以构作线和圆的图形,这是对这些图形存在性的声明.公理4是用重叠法作证明的依据.第5条公设虽然繁琐一点,之所以这样来表述,也足以显示出欧几里得的天才.他深知“两直线平行”,要涉及到“将两直线无限延长而永远不相交”的操作,而对这种操作人在经验上是无能为力的.然而按他的第5条公设的表述则可以正面回避“无限”所碰到的这种困难.
把公理与公设选定之后,接下来的工作是将剩余的几何命题作为定理从公理和公设中推演出来.欧几里得非常成功地做到了这一点.他把定理按一定的逻辑线索排列出来,并逐一将它们证明出来,其中有些定理的证明是前人已作出的,而有些则是欧几里得自己作出的.所有这些都是他对几何学所作出的又一重要贡献.
在《几何原本》第1篇的剩余部分里,欧几里得证明了48个命题,其内容涉及到平行线、三角形全等、初等作图法、平行四边形和毕达哥拉斯定理等.在第2篇里他证明了14个命题,其内容涉及用几何的形式叙述代数的问题.在第3篇里他证明了37个命题,涉及圆、弦、切线、割线、圆心角、圆周角、圆内接四边形等内容.在第4篇里他证明了16个命题,涉及圆的内接和外切图形.在第5篇里他建立了比例理论,并证明了关于量和量之比的25个定理.在第6篇里他利用比例理论讨论了相似形问题,并证明了33个有关的命题.在第7、8、9篇里他讨论了数论问题,并分别证明了39个、27个和36个命题.在第10篇里他讨论了无理量（即不可公度量）问题,证明了115个命题.第11篇是立体几何,他讲述空间中的平面、直线垂直、平行、相交等关系,还有多面角、平行六面体、棱锥、棱柱、圆锥、圆柱、球等问题,证明命题39个.第12篇主要涉及穷竭法的应用,含18个关于面积和体积的定理,特别是关于曲线和曲面所围形体的面积和体积.第13篇共含18个定理,内容涉及正多边形及其内接在圆内时的性质,涉及到如何把5种正多面体内接于一个球的问题,等等.就这样,欧几里得从10条公设与公理出发,将古希腊时代人们发现的465个几何和算术定理全部推演出来,从而把古希腊数学组织在一个严密的、逻辑线索清晰的公理化体系之中,被世人称为公理化的楷模,为后人不断地效仿.
由于《几何原本》一书内容丰富、逻辑严密和线索清晰,它被后人一直沿用,对数学发展的影响超过了任何别的书.在历史上,托勒密王曾问过欧几里得,除了他的《几何原本》之外,有没有其他学习几何的捷径?欧几里得回答说：“几何无王者之道.”意思是说,虽是国王也只能与大家一样,只有通过学习《几何原本》才能掌握几何知识.