在四边形ABCD中,∠B为锐角,AE⊥BC于E,AE=三分之四BE,∠C=75°,∠D=120°,CD=2倍的根号3-2

在四边形ABCD中,∠B为锐角,AE⊥BC于E,AE=三分之四BE,∠C=75°,∠D=120°,CD=2倍的根号3-2,AD=4
求AB的长

方法一：
过A作AF⊥CD交CD的延长线于F.
∵∠ADC＝120°,∴∠ADF＝60°,又∠AFD＝90°,∴DF＝AD/2＝4/2＝2,AF＝2√3.
又CD＝2√3－2,∴CF＝CD＋DF＝（2√3－2）＋2＝2√3.
由AF⊥CF、AF＝CF＝2√3,得：AC＝√2AF＝2√6,且∠ACF＝45°.
∵∠BCD＝75°,∠ACF＝45°,∴∠ACE＝30°,又∠AEC＝90°,∴AE＝AC/2＝√6.
∴（4/3）BE＝√6,∴BE＝3√6/4.
由勾股定理,有：AB＝√（AE^2＋BE^2）＝√（6＋9×6/16）＝5√6/4.
即：AB的长是5√6/4.
方法二：
由余弦定理,有：
AC^2＝AD^2＋CD^2－2AD×CDcos∠ADC＝16＋（2√3－2）^2－2×4×（2√3－2）cos120°
＝16＋12－8√3＋4－（16√3－16）cos（180°－60°）＝32－8√3＋8√3－8＝24.
∴AC＝2√6.
由余弦定理,有：
cos∠ACD＝（AC^2＋CD^2－AD^2）/（2AC×CD）
＝［24＋（2√3－2）^2－16］/［2×2√6×（2√3－2）］
＝（8＋12－8√3＋4）/［8√6（√3－1）］＝（3－√3）/［√2（3－√3）］＝1/√2,
∴∠ACD＝45°,∴∠ACB＝∠BCD－∠ACD＝75°－45°＝30°,∴sin∠ACD＝1/2.
∵AE＝（4/3）BE,∴tan∠B＝AE/BE＝4/3,∴3sin∠B＝4cos∠B,
∴9（sin∠B）^2＝16－16（sin∠B）^2,∴25（sin∠B）^2＝16,
而∠B是锐角,∴sin∠B＝4/5.
由正弦定理,有：AB/sin∠ACB＝AC/sin∠B,
∴AB＝ACsin∠ACD/sin∠B＝2√6×（1/2）/（4/5）＝5√6/4.
方法三：
由余弦定理,有：
AC^2＝AD^2＋CD^2－2AD×CDcos∠ADC＝16＋（2√3－2）^2－2×4×（2√3－2）cos120°
＝16＋12－8√3＋4－（16√3－16）cos（180°－60°）＝32－8√3＋8√3－8＝24.
∴AC＝2√6.
由正弦定理,有：AD/sin∠ACD＝AC/sin∠ADC,
∴sin∠ACD＝ADsin∠ADC/AC＝4sin120°/（2√6）＝4sin（180°－60°）/（2√6）＝1/√2.
∴∠ACD＝45°,∴∠ACB＝∠BCD－∠ACD＝75°－45°＝30°,∴sin∠ACD＝1/2.
∵AE＝（4/3）BE,∴tan∠B＝AE/BE＝4/3,∴3sin∠B＝4cos∠B,
∴9（sin∠B）^2＝16－16（sin∠B）^2,∴25（sin∠B）^2＝16,
而∠B是锐角,∴sin∠B＝4/5.
由正弦定理,有：AB/sin∠ACB＝AC/sin∠B,
∴AB＝ACsin∠ACD/sin∠B＝2√6×（1/2）/（4/5）＝5√6/4.