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设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m(x∈R)

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 17:52:00
设函数f(x)=2cos2x+2
3
(I)由题意可得:
f(x)=2cos2x+2
3sinxcosx+m
=1+cos2x+
3sin2x+m
=2sin(2x+
π
6)+m+1,
所以函数f(x)的最小正周期T=

2=π.
(Ⅱ)假设存在实数m符合题意,∵x∈[0,
π
2],

π
6≤2x+
π
6≤

6,则sin(2x+
π
6)∈[−
1
2,1]…(9分)
∴f(x)=2sin(2x+
π
6)+m+1∈[m,3+m]…(10分)
又∵f(x)∈[
1
2,
7
2],解得  m=
1
2…(13分)
∴存在实数m=
1
2,使函数f(x)的值域恰为[
1
2,
7
2]…(14分)