两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形最小面积

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 17:24:48

两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形最小面积
两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形,是不是都在两直线斜率为1和-1的时候面积最小?(椭圆不分的焦点在x轴和y轴,只要是椭圆,对称中心为原点),这是找规律,看成不成立

直线y=kx与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于点A,C,
把①代入②,b^2x^2+a^2k^2x^2=a^2b^2,x^2=a^2b^2/(b^2+a^2k^2),
x=土ab/√(b^2+a^2k^2),
∴|AC|=2ab√[(1+k^2)/(b^2+a^2k^2),
同理,直线y=-x/k与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于点B,D,
|BD|=2ab√[(1+1/k^2)/(b^2+a^2/k^2)=2ab√[(k^2+1)/(b^2k^2+a^2)],
∴S(ABCD)=4a^2b^2(k^2+1)/√[(b^2+a^2k^2)(b^2k^2+a^2)]
设u=k^2,f(u)=(u+1)/√[(b^2+a^2u)(b^2u+a^2)]=(u+1)/√[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2],u>=0,
由f'(u)=[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2]^(-1/2)-(1/2)(u+1)[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2]^(-3/2)*(2a^2b^2u+a^4+b^4)=0,得
a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2=（1/2）(u+1)(2a^2b^2u+a^4+b^4),
∴(a^4+b^4-2a^2b^2)u=a^4+b^4-2a^2b^2,
∴u=1,即f(u)的最小值=f（1）.这时k^2=1,k=土1,您的看法正确.

过椭圆X^2/4+Y^2=1的左焦点的两条垂直直线与椭圆交于ABCD四点,求四边形ABCD最小面积过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD最小面积,答案是8\ （原题：过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD最小面积是多过原点OI作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x^2/2+y^2=1交于A,C与B,D,则四边形ABCD的面积最小值为? 过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为如果两条直线垂直,那么这两条直线所形成的四个角中()' 已知椭圆X^2/4 +Y^2 =1.点A（1.1/2）.过原点的直线交椭圆于BC,求△ABC面积的最大值. 为什么当两条直线互相垂直时,所形成的四个角都是直角在两条直线所相交形成的四个角中,不能判定这两条直线垂直的是（）高2数学椭圆题目过椭圆2X的平方+Y的平方=2的上焦点的直线L交椭圆于A,B两点,求三角形AOB（O为原点）的面积最大值两条直线互相垂直,所组成的四个角都是().在同一平面内,过直线上一点,与该直线垂直的直线有()条过点(2,3)作动直线l交椭圆x²/4+y²=1于不同的点P,Q,过P,Q作椭圆的切线,两条切线的交