作业帮一道万有引力的题目,为什么用负质量法和质心法得到的结果不同?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：物理作业 时间：2024/05/16 23:46:30
一道万有引力的题目,为什么用负质量法和质心法得到的结果不同?
一个质量为M的球体,半径为R,在左侧距球心R/2处抠去一个半径为R/2的小球体,并把这个小球体放在左侧距大球球心距离为D的位置,求抠去小球后的大球与小球的万有引力
用负质量法计算：若把大球填满则两球间万有引力为GM^2/（8D^2）,应该抠去的部分与小球间的万有引力为GM^2/（64（D-R/2）^2）,两者作差得结果.
用质心法计算：（（M/8）R/2）/（7M/8）=R/14,抠去小球后的大球的质心在右侧距大球球心R/14处,求得两者万有引力为7GM^2/(64(D+R/14)^2).
两种算法结果不一样,求解释.
一个质量为M的球体,半径为R,在左侧距球心R/2处抠去一个半径为R/2的小球体,并把这个小球体放在左侧距大球球心距离为D的位置,求抠去小球后的大球与小球的万有引力
用负质量法计算：若把大球填满则两球间万有引力为GM^2/（8D^2）,应该抠去的部分与小球间的万有引力为GM^2/（64（D-R/2）^2）,两者作差得结果.
用质心法计算：（（M/8）R/2）/（7M/8）=R/14,抠去小球后的大球的质心在右侧距大球球心R/14处,求得两者万有引力为7GM^2/(64(D+R/14)^2).
两种算法结果不一样,求解释.
质心法不对!因为只有质量球对称分布的球体与质点间的万有引力才能将那个球体视为质点后直接使用万有引力定律计算,否则需要使用积分计算!一侧抠去小球后的大球不可能再是质量球对称分布了,因而不能将其视为质量集中于质心的质点后直接使用万有引力定律,此时必须做积分运算!
再问： 麻烦解释一下什么是质量球对称分布？质心法错在哪里？为什么质量球不均匀分布就要用积分计算？谢谢。
再答： 质量球对称分布就是，距离球心各个相等距离处（不论哪个方向））的密度都相同，不同距离处的密度可以不等（也可以相等，那样就是均匀分布了）。比如，地球的各个地方的地壳距离地心都大致相等，这里的密度也都大致相等；同样深度的地幔或地核出的密度也都大致相同。 质心法错在哪里？——我不是说过了吗？“因为只有质量球对称分布的球体与此球体以外的某个质点间的万有引力才能将那个球体视为质点后直接使用万有引力定律计算，否则需要使用积分计算！一侧抠去小球后的大球不可能再是质量球对称分布了，因而不能将其视为质量集中于质心的质点后直接使用万有引力定律，此时必须做积分运算！”（注意其中有个改动——此球体以外的） 为什么质量球不均匀分布就要用积分计算？——万有有力公式只适用于质点或质元（体积极小、质量也极小的物体的小单元），当计算有限体积的物体与某个质点间的万有引力时，一般的方法都是，先将物体分成无数个质元，每个质元与质点间的引力可直接使用万有有力公式，把这样得到的无数个不同大小及方向的小小引力统统加起来（这在数学上就是积分）才是物体与质点间的万有引力。质量球对称分布的球体与此球体以外的某个质点间的万有引力最开始也是用积分算的，算后才知道将那个球体可视为质点后直接使用万有引力公式计算（当初牛顿为了证明这一点花了十多年的时间，也为此发明了积分运算）。BTW，质量球对称分布的球壳与此球壳内部任意位置处的某个质点间的万有引力，用积分算的结果都是零！你要用质心法算的话，就错大发了！
再问： 麻烦解释一下什么是质量球对称分布？质心法错在哪里？为什么质量球不均匀分布就要用积分计算？谢谢。
再答： 质量球对称分布就是，距离球心各个相等距离处（不论哪个方向））的密度都相同，不同距离处的密度可以不等（也可以相等，那样就是均匀分布了）。比如，地球的各个地方的地壳距离地心都大致相等，这里的密度也都大致相等；同样深度的地幔或地核出的密度也都大致相同。 质心法错在哪里？——我不是说过了吗？“因为只有质量球对称分布的球体与此球体以外的某个质点间的万有引力才能将那个球体视为质点后直接使用万有引力定律计算，否则需要使用积分计算！一侧抠去小球后的大球不可能再是质量球对称分布了，因而不能将其视为质量集中于质心的质点后直接使用万有引力定律，此时必须做积分运算！”（注意其中有个改动——此球体以外的） 为什么质量球不均匀分布就要用积分计算？——万有有力公式只适用于质点或质元（体积极小、质量也极小的物体的小单元），当计算有限体积的物体与某个质点间的万有引力时，一般的方法都是，先将物体分成无数个质元，每个质元与质点间的引力可直接使用万有有力公式，把这样得到的无数个不同大小及方向的小小引力统统加起来（这在数学上就是积分）才是物体与质点间的万有引力。质量球对称分布的球体与此球体以外的某个质点间的万有引力最开始也是用积分算的，算后才知道将那个球体可视为质点后直接使用万有引力公式计算（当初牛顿为了证明这一点花了十多年的时间，也为此发明了积分运算）。BTW，质量球对称分布的球壳与此球壳内部任意位置处的某个质点间的万有引力，用积分算的结果都是零！你要用质心法算的话，就错大发了！