作业帮数学概率高手!111111
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 18:34:47
数学概率高手!111111
数学高手 超几何分布和二项分布的不同 比如我举个例子 有N件产品,其中有M见次品 然后一个人取上3次 求其中恰好有1 件次品的概率 1, 不放回的取2,又放回得取 为啥有放回得去还得分第一次取到,第二次取到,第三次取到 而无放回的就不用分第一次取到第二次取到和第三次去到了? 高手来啊 !不会啊 还有在超几何分布中如果1次取出3个和分三次取一次取一个的, 恰好有一件次品的概率一样么? 高手 !不着急 !详细 好了加分
数学高手 超几何分布和二项分布的不同 比如我举个例子 有N件产品,其中有M见次品 然后一个人取上3次 求其中恰好有1 件次品的概率 1, 不放回的取2,又放回得取 为啥有放回得去还得分第一次取到,第二次取到,第三次取到 而无放回的就不用分第一次取到第二次取到和第三次去到了? 高手来啊 !不会啊 还有在超几何分布中如果1次取出3个和分三次取一次取一个的, 恰好有一件次品的概率一样么? 高手 !不着急 !详细 好了加分
分两次解释吧,（一楼）想讲基本原理,
（二楼）讲问题,如理解原理,直接来（二楼）交流
先记C(a,b) 表示从 a 个中选取 b 个,
如从 5 个苹果中选取 3 个的可能结果是 C(5,3)
1）超几何分布
产品抽样检查的不放回抽样方法是典型的超几何分布的问题,
其实它假设的就是各种可能抽到的结果的可能性是相同的.
细致解释一下,假想这N件产品标号为1,2,……N,
其中1,2……M为次品,
那么,从中抽 n 件产品,可能结果有 C(N,n) 种.
而若这n件产品中有 k 件次品,可能结果有 C(M,k) * C(N-M,n-k) 种
所以,可以得到超几何分布的概率公式：P(X=k) = (C(M,k) * C(N-M,n-k)) / C(N,n)
2）二项分布
二项分布即重复n次的伯努利试验.在每次试验中只有两种可能的结果
如果事件A发生的概率是P,
解释需要费一番工夫,以 n = 3 为例,
用1表示A发生,0 表示A未发生.
则110表示第一、第二次实验时A发生了,而第三次时A未发生.
那么n=3次实验中,A发生一次的概率是多少呢?
3次实验,A发生一次的可能结果是 100,010,或 001
（即A 在第一次时发生,或A 在第二次时发生,或A 在第三次时发生）
100：概率为 P * （1-P）* （1-P）
010：概率为 （1-P） * P * （1-P）
001：概率为 （1-P） * （1-P）* P
所以A发生一次的概率是这三个概率的和：3 * P * （1-P）* （1-P）
事实上,上面的分析可以进一步简化,
3次实验的可能结果称为基本事件
（8种：000、001、010、011、100、101、110、111）
A发生k次的基本事件的概率都是一样的,
如上面的k=1时,都是P * （1-P）* （1-P）
而我们不难发现一般地,A发生k次的基本事件的概率都是 P^k * (1-P)^(n-k)
（可以这样理解,有k个1,（n-k）个0）
那么这样的基本事件有多少个呢?
那就相当于在n个位置中选取其中k个来放1,有C(n,k)个
（如上面的从3 个位置中选取其中1个来放1,有C(3,1)个.）
这些基本事件的概率都是 P^k * (1-P)^(n-k)
所以n次实验中,A发生k次的概率是 C(n,k) * P^k * (1-P)^(n-k)
（二项分布的概率公式）
（二楼）
根据（一楼）的概率公式可以很轻松地得到概率
(一个人取上3次 ,其中恰好有1 件次品的概率 )
无放回：对应超几何分布,故概率为 C(M,1) * C(N-M,2) / C(N,3)
有放回：对应二项分布,故概率为 C(3,1) * M*(1-M)^2/N^3
你所说的“有放回得去还得分第一次取到,第二次取到,第三次取到”
应该是为了把这一事件分解成易求概率的基本事件（见一楼）
这样在初学时易于理解,
然而,如果你已经理解了二项分布的原理,
就可以直接采用二项分布的概率公式求解,
而不必再分第一次取到,第二次取到,第三次取到
你所说的第二个问题
在超几何分布中如果1次取出3个和分三次取一次取一个的,恰好有一件次品的概率一样么?
答案是肯定的,你可以从直观上理解,
也可以进行计算分析：
假想N件产品已编号：1,2……N,且1,2……M为M件次品
（1）1次取出3个
总的可能结果数为 C(N,3),
恰好有一件次品的可能结果数为 C(M,1) * C(N-M,2)
概率为 C(M,1) * C(N-M,2) / C(N,3)
（2）分三次取一次取一个
记A(a,b) 为从 a 件东西中选取 b 件进行排列的可能结果数.
总的可能结果数为 A(N,3) = C(N,3) * A(3,3),
恰好有一件次品的可能结果数为 C(M,1) * C(N-M,2) * A(3,3)
概率为 C(M,1) * C(N-M,2) / C(N,3)
所以,概率相同.
（一般地,取 n 件产品,恰好有 k 件次品也会有类似的结果）
（二楼）讲问题,如理解原理,直接来（二楼）交流
先记C(a,b) 表示从 a 个中选取 b 个,
如从 5 个苹果中选取 3 个的可能结果是 C(5,3)
1）超几何分布
产品抽样检查的不放回抽样方法是典型的超几何分布的问题,
其实它假设的就是各种可能抽到的结果的可能性是相同的.
细致解释一下,假想这N件产品标号为1,2,……N,
其中1,2……M为次品,
那么,从中抽 n 件产品,可能结果有 C(N,n) 种.
而若这n件产品中有 k 件次品,可能结果有 C(M,k) * C(N-M,n-k) 种
所以,可以得到超几何分布的概率公式：P(X=k) = (C(M,k) * C(N-M,n-k)) / C(N,n)
2）二项分布
二项分布即重复n次的伯努利试验.在每次试验中只有两种可能的结果
如果事件A发生的概率是P,
解释需要费一番工夫,以 n = 3 为例,
用1表示A发生,0 表示A未发生.
则110表示第一、第二次实验时A发生了,而第三次时A未发生.
那么n=3次实验中,A发生一次的概率是多少呢?
3次实验,A发生一次的可能结果是 100,010,或 001
（即A 在第一次时发生,或A 在第二次时发生,或A 在第三次时发生）
100：概率为 P * （1-P）* （1-P）
010：概率为 （1-P） * P * （1-P）
001：概率为 （1-P） * （1-P）* P
所以A发生一次的概率是这三个概率的和：3 * P * （1-P）* （1-P）
事实上,上面的分析可以进一步简化,
3次实验的可能结果称为基本事件
（8种：000、001、010、011、100、101、110、111）
A发生k次的基本事件的概率都是一样的,
如上面的k=1时,都是P * （1-P）* （1-P）
而我们不难发现一般地,A发生k次的基本事件的概率都是 P^k * (1-P)^(n-k)
（可以这样理解,有k个1,（n-k）个0）
那么这样的基本事件有多少个呢?
那就相当于在n个位置中选取其中k个来放1,有C(n,k)个
（如上面的从3 个位置中选取其中1个来放1,有C(3,1)个.）
这些基本事件的概率都是 P^k * (1-P)^(n-k)
所以n次实验中,A发生k次的概率是 C(n,k) * P^k * (1-P)^(n-k)
（二项分布的概率公式）
（二楼）
根据（一楼）的概率公式可以很轻松地得到概率
(一个人取上3次 ,其中恰好有1 件次品的概率 )
无放回：对应超几何分布,故概率为 C(M,1) * C(N-M,2) / C(N,3)
有放回：对应二项分布,故概率为 C(3,1) * M*(1-M)^2/N^3
你所说的“有放回得去还得分第一次取到,第二次取到,第三次取到”
应该是为了把这一事件分解成易求概率的基本事件（见一楼）
这样在初学时易于理解,
然而,如果你已经理解了二项分布的原理,
就可以直接采用二项分布的概率公式求解,
而不必再分第一次取到,第二次取到,第三次取到
你所说的第二个问题
在超几何分布中如果1次取出3个和分三次取一次取一个的,恰好有一件次品的概率一样么?
答案是肯定的,你可以从直观上理解,
也可以进行计算分析：
假想N件产品已编号：1,2……N,且1,2……M为M件次品
（1）1次取出3个
总的可能结果数为 C(N,3),
恰好有一件次品的可能结果数为 C(M,1) * C(N-M,2)
概率为 C(M,1) * C(N-M,2) / C(N,3)
（2）分三次取一次取一个
记A(a,b) 为从 a 件东西中选取 b 件进行排列的可能结果数.
总的可能结果数为 A(N,3) = C(N,3) * A(3,3),
恰好有一件次品的可能结果数为 C(M,1) * C(N-M,2) * A(3,3)
概率为 C(M,1) * C(N-M,2) / C(N,3)
所以,概率相同.
（一般地,取 n 件产品,恰好有 k 件次品也会有类似的结果）