气球膨胀状态的函数r(V)=(3V/4π)^1/3求导问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 08:26:02

气球膨胀状态的函数r(V)=(3V/4π)^1/3求导问题
“相当于把（3v/4π）看成整体,假设u=3v/4π
那么r=u^1/3
r'=(1/3)*u^(-2/3)*u'=r'(v)=(1/3)*(3V/4π)^(-2/3)*(3V/4π)
这是复合函数求导”
这是一个回答的答案我想问 r=u^1/3的求导答案是r'=(1/3)*u^(-2/3)*u' 数学书上的公式是f(x)=x^a,则f'(x)=a·x^a-1 那么按照这个公式算u^3/1 不是应该是r'=(1/3)*u^(-2/3) 为什么后面还要乘个u' 不只是这个答案是这样别的答案即使不把整体看成u 按照公式后面都乘了个(3V/4π)' 我把别的不按整体看成u的答案也发过来
r(V)=(3V/4π)^1/3
r'(v)=(1/3)*(3V/4π)^(-2/3)*(3V/4π)'
就想问为什么后面又多乘了个(3V/4π)'
还没有学这块我自学呢

你对复合函数求导法则不是很了解,
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)即y=f（g（x））的导数间的关系为
y'=dy/dx=dy/du*du/dx=f'（u）*g'（x）=f'（g（x））*g'（x）
如果不乘以g'（x）,f'（g（x））即则表示y对u的导数,而非y对x的.
本题中u=3v/4π,所以一定要乘以u',即(3V/4π)'
否则表示r对3v/4π的变化率,而不是r对v的.
再问：那请问在遇到跟这个类似的比如r(V)= A^3（A为一个复合函数）先设u=A 能否 r'=3·u^2·u' 就这样当成一个公式用? 还有我是文科生…在遇到这样的问题时是这样算吗? 教科书上其实没有复合函数的章节只有基本初等函数求导自学问题果然还是挺多的
再答：既然r(V)= A^3，直接 r'（V）=3·A^2·A' 就ok了，不用把函数名称变成u，就像一个函数，你称它为f（x）还是g（x），都无所谓 r'=3·u^2·u' 是从[f(g(x))]'=f'（g（x））*g'（x）推导而来的，你要掌握后者，才能对不同问题进行求导。实际上复合函数求导很重要，因为基本初等函数只有常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六种，而初等函数都是由基本初等函数经过加减乘除和复合得来的，（例如y=sin（2x+1），就是由y=x、y=2、y=1加减乘除，得到y=2x+1，在与y=sinx复合得到的）如果实在不会，把r(V)=(3V/4π)^1/3处理一下，变成r(V)=(3/4π)^(1/3)*V^(1/3)， (3/4π)^(1/3)是系数，对幂函数V^(1/3)求导，应该会了吧。

求描述气球膨胀状态的函数r（V）＝（3V/4π）^1/3的导数.如图：要用复合函数的方法求解. 求导数应用题!设气球的半径为r,以知其表面积S=4∏r^2,体积V=4/3∏r^3,求当r=2时体积关于表面积的变化率? 关于浮力的应用题一只观光用的载人升空气球（可以看做球体,球的体积V=3πR^3/4)球的半径为4m,球内充氦气,气球能搭有关阿基米德原理一只观光用的在人升空气球(气球可看作球体,球的体积为V=4/3πR的立方）,球的半径为4m,球内充满氢气下列说法中不正确的是A.函数V=4/3πr³中,4/3是常量,r是自变量,V是πr的函数B.代数式4/3πr& 已知球的体积关于半径的函数V(r)=4/3πr^3,它的导数V'(r)=4πr^2恰好是球的表面积,利用类比思想,可以类气球体积计算公式为V＝3/4兀R的三次方,R为气球半径,当气球体积是原来的27倍时,他的半径是原来的几倍? 气球体积计算公式为V＝4/3兀R的三次方,R为气球半径,当气球体积是原来的8倍时,它的半径是原来的几倍? 判断,快A.公式V=4/3πr³可以看做球的体积是球的半径的函数B.代数式V=4/3πr³是它所含字测得工作在放大状态的晶体管三个管脚的电位分别为:1脚-4V,2脚-6.5V,3脚-3.3V,由此 NO2,NO,O2的混合关系式：V(O2)=1/4V(NO2)+3/4V(NO) 特例：当V(NO):V(NO2):V 在公式V=πh^2(R-(1/3)h)中,h≠0,用V,h表示R