作业帮平面曲线的弧长与曲线积分的关系
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 09:07:07
平面曲线的弧长与曲线积分的关系
同济版高等数学上册在讲定积分的时候有提到平面曲线的弧长,而下册在多元积分又提到了曲线积分,这两个积分公式在形式上有一定相似性,我想从概念上了解他们的含义
上图是平面上弧长的计算
上图是（第一类）曲线积分
他们的差别该怎么去理解呢?
请从平面过渡到立体的这个层次来解释
同济版高等数学上册在讲定积分的时候有提到平面曲线的弧长,而下册在多元积分又提到了曲线积分,这两个积分公式在形式上有一定相似性,我想从概念上了解他们的含义
上图是平面上弧长的计算
上图是（第一类）曲线积分
他们的差别该怎么去理解呢?
请从平面过渡到立体的这个层次来解释
第一个图片当中,你手写的那两个式子有明显错误,这说明你没有理解ds的含义,曲线弧长ds实际上就是√[(Δx)^2+(Δy)^2],在微分的情况下Δx=dx,Δy=f'(x)dx,最终结果就是ds=dx√(1+f'(x)^2)
若换x,y换成t的参数方程也是这么理解
再问： 多谢指正。第二张图是第一类曲线积分，它和平面弧微分之间差一个f(x，y)，我想知道他们为什么有这种很相似的区别
再答： 我在这里举个例子帮助你理解，如果有一个曲线L:f(x)不是均质的（也就是说每处的线密度是不一样的），它的线密度函数是F(x,y),那么曲线上某段的质量就是F(x,y)ds，若以x作为t作为参数，那么L的表达式就是x=x,y=f(x),ds=dx√(1+f'(x)^2)，F(x,y)=F(x,f(x))
F(x,y)ds=F(x,f(x))√(1+f'(x)^2)dx,确定参数的目的就是将每一段的ds确定其线密度
再答： 补充一下，如果仅仅对ds积分，结果是曲线长度；如果是对f(x，y)ds积分得到的结果可能是质量、重量或者其他
再问： 就是说ds表示微元长度，ds*f(x,y)就是长度乘以线密度函数表示微元质量，这样理解吗
再答： 恩，是这样理解的
再问： 谢谢。理解了！
若换x,y换成t的参数方程也是这么理解 再问： 多谢指正。第二张图是第一类曲线积分，它和平面弧微分之间差一个f(x，y)，我想知道他们为什么有这种很相似的区别
再答： 我在这里举个例子帮助你理解，如果有一个曲线L:f(x)不是均质的（也就是说每处的线密度是不一样的），它的线密度函数是F(x,y),那么曲线上某段的质量就是F(x,y)ds，若以x作为t作为参数，那么L的表达式就是x=x,y=f(x),ds=dx√(1+f'(x)^2)，F(x,y)=F(x,f(x))
F(x,y)ds=F(x,f(x))√(1+f'(x)^2)dx,确定参数的目的就是将每一段的ds确定其线密度
再答： 补充一下，如果仅仅对ds积分，结果是曲线长度；如果是对f(x，y)ds积分得到的结果可能是质量、重量或者其他
再问： 就是说ds表示微元长度，ds*f(x,y)就是长度乘以线密度函数表示微元质量，这样理解吗
再答： 恩，是这样理解的
再问： 谢谢。理解了！
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