如何证明在有理数范围内2p^4-3p^3+7p^2+6p-18不可分.（即既约多项式的判定）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/18 03:20:10

记f(p)=2p^4-3p^3+7p^2+6p-18,那么p是整数时f(p)是偶数,所以Cohn判别法完全没办法用,看上去也不容易凑出一个平移变换来用Eisenstein判别法,看来只能暴力一点了,至少我看不出来有什么简单的办法.
一种方法是这样
f(p+1)=2p^4+5p^3+10p^2+19p-6
可以验证f(p+1)没有有理根,所以如果可约一定只有两次因子.
然后尝试f(p+1)=(2x^2+ax+b)(x^2+cx+d),a,b,c,d是整数.枚举bd=-6的所有情况,对于每种情况a+2c=5和bc+da=19是唯一可以解出a和c来的,代进去验证一下.一般来讲这种做法总是可行的,只是代价非常大.
另一种方法是利用四次方程的Ferrari解法,同样需要先知道f(p)没有有理根,最多只能分解成两次因子的积.
f(p+3/8)=2(p^4+85/32*p^2+333/64*p-30483/4096)
用Ferrari解法算出3次预解式
y^3+425/64*y^2+88283/4096*y+4160443/262144
可以直接验证这个预解式没有有理根,也可以先消去二次项得到
x^3+329/48*x-8767/864
再验证没有有理根.当然,这种做法代价也很大.

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