已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点F，右顶点A，右准线x=4且|AF|=1．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/25 01:55:25
已知椭圆C：
| x
（1）∵椭圆C：
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0）的右焦点F，右顶点A，右准线x=4且|AF|=1，
∴
a2
c＝4，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b＝
3，
∴椭圆C的标准方程为
x2
4+
y2
3＝1．（5分）
（2）直线l：y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，（7分）
∴△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=0，即m2=3+4k2．
xp＝−
4km
3+4k2＝−
4k
m，yp＝kxp+m＝−
4k2
m+m＝
3
m，即P(−
4k
m，
3
m)．（9分）
假设存在点M满足题意，则由椭圆的对称性知，点M应在x轴上，不妨设点M（t，0）．
又Q（4，4k+m），
MP＝(−
4k
m−t，
3
m)，
MQ＝(4−t，4k+m)，
若以PQ为直径的圆恒过定点M，
则
MP•
MQ=(−
4k
m−t)•（4-t）+
3
m•(4k+m)=t2−4t+3+
4k
m(t−1)＝0恒成立，
故
t＝1
t2−4t+3＝0，即t=1．（13分）
∴存在点M适合题意，点M与右焦点重合，其坐标为（1，0）．
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