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已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/21 23:36:04
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜
1
2
（1）由已知得，f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是（1，2），
∴由f′（x）＜0，得1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0，
从f（0）=a2=1且 a＞0可得a=1，
又

f′(1)＝3+2b+c＝0
f′(2)＝12+4b+c＝0，解得

b＝−
9
2
c＝6，
∴f（x）=x3-
9
2x2+6x+1．
（2）由（1）得，f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0，所以f（x）在[2，+∞）上是增函数，
对x∈[2，+∞），当x=2时，f（x）min=f（2）=3，
要使f（x）＜
1
2m3-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）上有解，
只需fmin（x）＜
1
2m3-mlnm-mt+3，即3＜
1
2m3-mlnm-mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，
也即mt＜
1
2m3-mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，即t＜
1
2m2-lnm对任意m∈（0，2]恒成立，
设h（m）=
1
2m2-lnm，m∈（0，2]，则t＜h（m）min，
h′（m）=m-
1
m=
m2−1
m=
(m+1)(m−1)
m，令h′（m）=0，得m=1或m=-1（舍），
当m∈（0，2]时，h′（m）与h（m）的变化情况如下表：

m（0，1）1（1，2）2
h′（m）-0+
h（m）↘极小值
1
2↗2-ln2∴m=1时，h（m）min=h（m）极小值=
1
2，
所以t＜
1
2，即实数t的取值范围为t＜
1
2．
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+a2的单减区间为(1,2),且满足f(0)=1,对任意m(0,2], 已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+a^2的单调递减区间是(1,2),且满足f(0)=1,①：求f(x）解析式 已知函数F(x)＝13ax3+bx2+cx(a≠0)，F'（-1）=0． 已知函数g（x）=ax3+bx2+cx（a∈R且a≠0）,g（-1）=0,则g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1） 已知函数g（x）=ax3+bx2+cx（a不等于0）,g（-1）=0,且g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1） 已知函数f(x)=ax的三次方+bx的平方+cx+a的平方 （a,b,c属于R）的单调递减区间（1,2）,且满足f(0) 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间（-无穷大,0）,（1,＋无穷大）上是减函数,. 如果函数f（x）=13ax3+12bx2+cx，且f′(1)＝−a2，3a＞2c＞2b，则下列结论不正确的是（　　） 已知函数g(X)=ax3+bx2+cx+d（a不等于0）的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)f(1)>0,设X 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1；若对任意的x1，x2∈ 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=-1取得极大值2． 已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0