已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 00:29:33

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f(x)＜

（Ⅰ）由已知得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²的单调递减区间是（1，2），
∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0
从f（0）=a²=1且 a＞0可得a=1
又

f′(1)＝3+2b+c＝0
f′(2)＝12+4b+c＝0得

b＝−
9
2
c＝6
∴f(x)＝x3−
9
2x2+6x+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴x∈（-∞，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，1]上是增函数
对x∈（-∞，1]，当x=1时，f(x)max＝f(1)＝
7
2
要使f(x)＜
1
2m3−mlnm−mt+
7
2在x∈（-∞，1]上恒成立，
即
1
2m3−mlnm−mt+
7
2＞f(x)max
1
2m3−mlnm−mt+
7
2＞
7
2，
即mt＜
1
2m3−mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，
即t＜
1
2m2−lnm对任意m∈（0，2]恒成立，
设h(m)＝
1
2m2−lnm，m∈(0，2]，则t＜h（m）_minh′(m)＝m−
1
m＝
m2−1
m＝
(m−1)(m+1)
m，令h′（m）=0，得m=1或m=-1
在m∈（0，2]，h′（m）的符号与h（m）的单调情况如下表：
m （0，1） 1 （1，2） 2
h′（m） - 0 + 0
h（m） ↘ 极小值 ↗ 极大值∴m=1时，h(m)min＝h(m)极小值＝
1
2，
∴t＜
1
2

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+a2的单减区间为(1,2),且满足f(0)=1,对任意m(0,2], 已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+a^2的单调递减区间是(1,2),且满足f(0)=1,①：求f(x）解析式已知函数F(x)＝13ax3+bx2+cx(a≠0)，F'（-1）=0．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx（a∈R且a≠0）,g（-1）=0,则g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx（a不等于0）,g（-1）=0,且g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1）已知函数f(x)=ax的三次方+bx的平方+cx+a的平方（a,b,c属于R）的单调递减区间（1,2）,且满足f(0) 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间（-无穷大,0）,（1,＋无穷大）上是减函数,. 如果函数f（x）=13ax3+12bx2+cx，且f′(1)＝−a2，3a＞2c＞2b，则下列结论不正确的是（　　）已知函数g(X)=ax3+bx2+cx+d（a不等于0）的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)f(1)>0,设X 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1；若对任意的x1，x2∈ 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=-1取得极大值2．已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0