在△ABC中，AB=AC，点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，P、Q两点分别在直线AC和AB上，AP=BQ．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 03:50:03

（1）如图①，当∠BAC=60°，点P、Q分别在线段AC、AB上时，求证：∠APO+∠AQO=180°；
（2）如图②，当∠BAC=120°，点P、Q分别在CA、AB的延长线上时，则∠APO与∠AQO的数量关系是___；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接PQ、AO，若PQ⊥CP于点P，AO交BC于D，PO交BC于E，CD=6，求BE的长．

（1）连接AO、BO、CO，

∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
又∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，
∴直线AO和直线BO分别是边BC和AC的垂直平分线，
∴∠OAP=∠OBQ=
1
2∠BAC=
1
2∠ABC=30°，
∵在△APO和△BQO中，

AO=BO
∠PAO=∠QBO
AP=BQ，
∴△APO≌△BQO，（SAS）
∴∠APO=∠BQO，
∵∠BQO+∠AQO=180°，
∴∠APO+∠AQO=180°；
（2）连接AO、BO、CO，

∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∴△OAB，△OAC是等边三角形，
∴∠QBO=120°，∠PAO=∠PAQ+∠BAO=120°，
∵在△PAO和△QBO中，

AP=BQ
∠PAO=∠QBO
AO=BO，
∴△PAO≌△QBO，（SAS）
∴∠APO=∠AQO；
（3）连接OB、OC，

同理（1）问可知，AD⊥BC，且∠BAD=∠CAD=60°，BD=CD，
∵OA=OB，
∴AB=AO=BO，且∠OBD=
1
2∠OBA=30°，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAQ=60°，∠PAO=120°，△APQ中，∠APQ=90°，∠AQP=30°，PA=
1
2AQ，
∵AP=BQ，
∴BQ=
1
2AQ，
∴AP=AB=AO，
∴∠AOP=30°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=OE，
∴RT△ODE中，DE=
1
2OE=
1
2BE，
∴BE=
2
3BD=
2
3CD=4．

如图,在△ABC中,P、Q分别是BC、AB边上的点,且AC=AP=PQ=BQ,求角B的度数在三角形ABC中（锐角三角形），点P,Q,R分别在AB,BC,AC上，且AP=三分之一AB，BQ=四分之一BC，CR=五三角形ABC中,AB=BC,P,Q分别是BC,AB上的点,且AC=AP=PQ=BQ,求度在△ABC中,∠B=∠C,P、Q、R分别在AB、BC、AC、上,且BP=CQ,BQ=CR.求证：点Q在PR的垂直平分线上在等腰三角形ABC中,AB=AC,P,Q分别是AC,AB上的点,AP=PQ＝QB＝BC,求角ACQ的度数. 在三角形ABC中,点P在AB边上,AP=三分之一AB,点Q在BQ边上,BQ=四分之一BC,R在AC上,CR=五分之一AC 在三角形ABC中,线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q两点,且BP=PQ=QC,求证：三角形APQ为等边三角形如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别是边AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC．则∠PCQ=_____ M是Rt△ABC斜边AB的中点,P、Q分别在AC、CB上,且PM⊥QM.求证PQ方=AP方+BQ方已知:如图在三角形ABC中,∠C=90°,点P、Q分别在BC、AC上求证:AP的平方+BQ的平方=AB的平方+PQ的平在三角形ABC中,AB=AC,点P,Q,分别在AC,AB上,且AP=PQ=QB=BC,求角A 如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC与不同的两点M,N.若AB→=mAM→.AC→=n