三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,PO⊥底面ABC,垂足为O,∠BPO=∠CPO=60° 求PA与底面ABC所成角.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 07:49:13

三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,PO⊥底面ABC,垂足为O,∠BPO=∠CPO=60° 求PA与底面ABC所成角.
三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,PO⊥底面ABC,垂足为O,∠BPO=∠CPO=60°,
（1）求证：△ABC为等腰三角形.
（2）求PA与底面ABC所成角.
如果有想出几何与空间向量坐标系两种方法的、请都写上、会追加的噢~

看插图,不是很准确,但将就点用
1、连接BO,CO.
在直角三角形BOP和COP中,
cos∠BPO=PO/PB
cos∠CPO=PO/PC
因为∠BPO=∠CPO,所以PB=PC,同理BO=CO
在直角三角形APB和APC中
PA=PA,PB=PC,∠APB=∠APC=90°
所以△APB≌△APC
所以AB=AC
2、∠PAO即为所求
因为AB=AC,BO=CO,AO=AO
所以△ABO≌△ACO
所以∠BAO=∠CAO,即AD为角平分线、中线和高（等腰,三线合一）
假设PO=a
那么就有BO=CO=a√3 PB=PC=2a
所以BC=√2PB=a2√2 BD=0.5BC=a√2
所以OD=√(BO²-BD²)=a
假设AO=x,那么就有AP²=AO²+PO²=x²+a²
AB²=AP²+BP²=x²+a²+4a²
AB²=BD²+AD²=2a²+(a+x)²
所以x²+a²+4a²=2a²+(a+x)²
即x=a
所以tan∠PAO=PO/AO=a/a=1
所以∠PAO=45°
即PA与底面ABC所成角为45°

三棱锥P-ABC,PA垂直BC,PB垂直AC,PO垂直平面ABC,垂足为O,证O为底面三角形ABC的垂心如图三棱锥P—ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点O为底面△ABC的垂心。求证：PO⊥平面ABC 三棱锥P-ABC中底面ABC为直角三角形AB＝BC,PA＝2AB,PA垂直面ABC,求BC垂直PB,PB与平面PAC角的三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______ 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,直线PC与底面ABC所成在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PA,O为外心,求证：PO垂直于平面ABC 在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC 空间几何侧棱两两垂直的正三棱锥P-ABC中,底面边长为6,侧面与底面所成的二面角等于60度,求棱锥的高PO及他的表面积图在正三棱柱P-ABC中,已知底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,则PB与平面BDC所成角的正弦值为三棱锥P--ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱长均为4/3根号3.求PA与平面ABC所成的角. 正三棱锥P—ABC中,底面边长为12cm,侧棱长为20cm,求(1)PB与AC所成的角的大小(2)高PO的长（3）PA与在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥体积为