作业帮1.在对角线有相同长度的所有矩形中,怎样的矩形周长最长?怎样的矩形面积最大?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 02:07:18
1.在对角线有相同长度的所有矩形中,怎样的矩形周长最长?怎样的矩形面积最大?
2.已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,则r和h为何值时,内接圆柱的体积最大?
2.已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,则r和h为何值时,内接圆柱的体积最大?
解1、设对角线为A(定值),长x,宽y
A^2=x^2+y^2≥2xy xy≤A^2/2(x=y处取得等号),所以面积最大值是A^2/2,此时x=y,即该矩形是正方形时,其面积最大.
解2、
见图如下：设圆柱体积是V,
V=π*r*r*h
由图中截面可以知道满足关系： r^2+(h/2)^2=R^2
涉及到3次,用构造法：
(a+b+c)/3≥3次根号(abc)即n个正数的算术平均数不小于其几何平均数(取等号条件是所用整数相等)
R^2=r^2+(h/2)^2=r^2/2+r^2/2+h^2/4≥3倍(3次根号(r^2/2*r^2/2*h^2/4)) (r^2/2=r^2/2=h^2/4时取等号),此时h^2=2r^2联立r^2+(h/2)^2=R^2
得到r^2=2/3R^2 h^2=4/3R^2
根据不等式得到r*r*h≤4√3/9*R^3
则当r=√6/3*R h=2√3/3*R时,体积可以取最大值V(max)=π4√3/9*R^3
A^2=x^2+y^2≥2xy xy≤A^2/2(x=y处取得等号),所以面积最大值是A^2/2,此时x=y,即该矩形是正方形时,其面积最大.
解2、
见图如下：设圆柱体积是V,
V=π*r*r*h
由图中截面可以知道满足关系： r^2+(h/2)^2=R^2
涉及到3次,用构造法：
(a+b+c)/3≥3次根号(abc)即n个正数的算术平均数不小于其几何平均数(取等号条件是所用整数相等)
R^2=r^2+(h/2)^2=r^2/2+r^2/2+h^2/4≥3倍(3次根号(r^2/2*r^2/2*h^2/4)) (r^2/2=r^2/2=h^2/4时取等号),此时h^2=2r^2联立r^2+(h/2)^2=R^2
得到r^2=2/3R^2 h^2=4/3R^2
根据不等式得到r*r*h≤4√3/9*R^3
则当r=√6/3*R h=2√3/3*R时,体积可以取最大值V(max)=π4√3/9*R^3
在对角线有相同长度的所有矩形中怎样的矩形周长最长,怎样的矩形面积最大?求标准点解答.
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