小球从光滑固定的四分之一圆弧静止释放,求滑至底端所需时间

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：物理作业时间：2024/05/13 03:56:58

小球从光滑固定的四分之一圆弧静止释放,求滑至底端所需时间
圆弧半径为R,重力加速度g

用积分的方法是：
设小球运动过程到与水平轴成角度为x的位置,沿速度方向的力为重力的分量：mgcos(x),该力提供切向加速度：
mgcos(x)=m(dv/dt),
由机械能守恒,这时的动能mv^2/2应该等于重力势能的变化mgRsin(x),
所以我们有sin(x)=v^2/(2gR),即cos(x)=sqrt[1-sin(x)^2]=sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]
将cos(x)代入mgcos(x)=m(dv/dt)我们得到微分方程：
g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]=dv/dt,
或者写成dv/[g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]]=dt
两边积分,v从初速度零积到末速度sqrt(2gR),得
T=1/[g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]]关于v的积分,
设y=v^2/(2gR),dv=sqrt(gR/2)*dy/sqrt(y),所以
T=sqrt[R/(2g)]*函数1/[sqrt(y)*sqrt(1-y^2)]关于y从0到1的积分
T=sqrt[R/(2g)]*(1/2)*Beta(1/4,1/2)=1.854*sqrt(R/g)
比单摆的结果小（其中Beta(x,y)为beta函数）.

物体从一个四分之一圆弧侧面从静止滑下,滑到底端所需时间是多少?求解过程~ 光滑四分之一圆斜面固定在地面上有一物体从顶端无处速度释放求到斜面底端的时间微积分应用（高手进）一个1/4的光滑圆弧槽固定在水平面上,从槽的最高点沿圆弧槽静止释放一个质量为m的小球,求小球滑到最低如图所示,将半径为r的1/4光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内,轨道末端与水平地面相切.质量为m的小球从A点静止释放,小球竖直面内一个光滑四分之一圆弧,小球由静止开始自由下落,速度对时间的函数能求吗? 某质点小球放在光滑的1/4圆弧AB的顶端,从静止释放,请问您小球到达B点需要多长时间?已知圆弧半径为r. 带有光滑的半径为R的1/4圆弧轨道的滑块静止在光滑的水平面上,此滑块的质量为M,一个质量为m的小球由静止从最上端释放,当一光滑斜面全长18m,一小球自斜面顶端由静止开始释放,经3S到达斜面底端.若在该球释放同时,第二球以一定的初速度沿斜面从如图所示，AB为固定在竖直平面内的14光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R．质量为m的小球由A点静止释放，静止在光滑水平面的小车左端有1/4光滑圆弧轨道,若一个滑块从圆弧轨道上端静止释放待滑块滑上小车一个劈形物体M,各面均光滑,放在固定的斜面上,上面呈水平,水平面上放一光滑小球m,劈形物体从静止开始释放,则小球在碰到斜（2014•历城区二模）在某次探究活动中，小明对老师给出的“小球在光滑斜面由静止释放时，所处高度越高，到达斜面底端的速度