作业帮P是△ABC所在平面上一点,如何证明下列关系P代表三角形垂心?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/19 18:54:43
P是△ABC所在平面上一点,如何证明下列关系P代表三角形垂心?
PA^2+BC^2=PB^2+CA^2=PC^2+AB^2
PA^2+BC^2=PB^2+CA^2=PC^2+AB^2
PA^2+BC^2=PB^2+CA^2
即：PA^2-PB^2=CA^2-BC^2
由这个式子即可以推出PC⊥AB
初级的做法是：
分别过P和C作AB的垂线,
结合勾股定理,可以证明这两垂线段的垂足重合,
也就是P点在AB边的高上.
同理,其它两边也可以得到类似结论,
∴P点就是垂心
高级的做法是：
分别以A、B为圆心作两个圆,半径分别为R、r
使得R、r满足：PA^2-PB^2=CA^2-BC^2=R^2-r^2
式子变形就得到：
PA^-R^2=PB^-r^2,CA^2-R^2=BC^2-r^2
∴P、C两点对于两圆的幂相等
∴线段PC在两圆的根轴上
∴PC⊥连心线AB
同理,PB⊥AC、PA⊥BC
∴P是△ABC的垂心
即：PA^2-PB^2=CA^2-BC^2
由这个式子即可以推出PC⊥AB
初级的做法是：
分别过P和C作AB的垂线,
结合勾股定理,可以证明这两垂线段的垂足重合,
也就是P点在AB边的高上.
同理,其它两边也可以得到类似结论,
∴P点就是垂心
高级的做法是：
分别以A、B为圆心作两个圆,半径分别为R、r
使得R、r满足：PA^2-PB^2=CA^2-BC^2=R^2-r^2
式子变形就得到：
PA^-R^2=PB^-r^2,CA^2-R^2=BC^2-r^2
∴P、C两点对于两圆的幂相等
∴线段PC在两圆的根轴上
∴PC⊥连心线AB
同理,PB⊥AC、PA⊥BC
∴P是△ABC的垂心
已知点p在三角形ABC所在平面内,向量PA*PB=PB*PC=PC*PA,如何证明p是三角形的垂心?
P是三角形ABC所在平面上一点,若PA*PB=PB*PC=PC*PA,则P是三角形ABC的什么心
P是三角形ABC所在平面外一点,且PA垂直平面ABC,若O、Q分别是三角形ABC和三角形PBC的垂心,
P是正△ABC所在平面外的一点,已知PA=PB=PC证明点P的射影在△ABC的重心上
P是三角形ABC所在平面上的一点,如果向量PA点乘PB=PB点乘PC=PC点乘PA,则P是三角形ABC的垂心
已知P是三角形ABC所在平面内的一点,若向量CB=x向量PA+向量PB,则点P一定在AC边所在的直线上 给出证明
点P是三角形ABC所在平面外一点,若PA、PB、PC与这个平面所成角相等,则点P在平面ABC上的射影是三角形什么心
P为三角形ABC所在平面外一点.
设p是等边三角形ABC所在平面上一点,使三角形ABP,三角形BCP,三角形ACP都是等腰三角形,满足条件的P点有几个?
已知P是三角形ABC所在平面外一点 PA,PB,PC两两垂直,O是三角形ABC的垂心.看好问题
设P是三角形ABC所在平面外一点,P到三角形ABC各顶点的距离相等,且p到三角形ABC各边的距离相等.
设P是三角形ABC所在平面外一点,P到三角形ABC各顶点的距离相等,且p到三角形ABC各边的距离相等