设n为任意整数,试证n（n+1）（2n+1）一定是6的倍数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 06:15:58

一种解法
n和n+1有一个是偶数
所以n(n+1)(2n+1)能被2整除
若n能被3整除,则n(n+1)(2n+1)能被3整除
若n除3余数是2,则n+1除3余数是3,即能整除
若n除3余数是1,3k+1,则2n+1=6k+2+1=6k+3能被3整除
所以能被3整除
2和3互质,所以能被3整除能被2*3=6整除
二种解法
n除以3的余数只有3个可能:0,1,2.
可以把n分3类:3k,3k+1,3k+2
k表示整数
1.n=3k
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
2.n=3k+1
2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
3.n=3k+2
n+1=3k+3能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
三种解法：归纳法
1.当n=0时,n(n+1)(2n+1)=0,当n=1时,n(n+1)(2n+1)＝6,
显然在n=0和n=1时,命题成立.
2.假设n＝k（k>1,且k为整数）时,命题成立,则有
k(k+1)(2k+1)是6的倍数.
当n=k+1时,
n(n+1)(2n+1)
＝(k+1)(k+2)(2k+3)
=……
=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)(k+1)
（请自己展开式子作变形,可得上式）
因为k(k+1)(2k+1)是6的倍数（由假设）,而6(k+1)(k+1)也是6的倍数,所以上式明显是6的倍数,即n=k+1时,命题也成立.
3.由1和2,可知对任意正整数,原命题是成立的.
又,当n是负整数时,正好是对应正整数的-1倍,所以有
对任意整数n,n(n+1)(2n+1)恒为6的倍数.

设n为任意整数,试证n（n+1）（2n+1）一定是6的倍数设n为任意整数,试证:n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数设n为任意整数,试证：n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数设n为任意整数,试正:n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数设n为任意整数,试证:(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)一定是8的倍数设n为任意整数,试证明n(n+1)(2n+1)是6的倍数若n是整数,求证n(n+1)(2n+1)为6的倍数设n为正整数,那么n(2n+1）-2n（n-1）的值一定是3的倍数吗?请说明理由设n为自然数,试说明n（2n+1）-2n（n-1）的值一定是3的倍数. 对整数n,n(n+1)(2n-1)/6为整数,如果n是4的倍数,问这个式子是否是4的倍数当n为整数时，（n+1）2-（n-1）2的值一定是4的倍数吗？对于任意的正整数n,试说明整数(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的倍数