已知：如图,△ABC内接于⊙O,过点B作⊙O的切线,交CA的延长线于点E,∠EBC＝2∠C．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 09:07:59

已知：如图,△ABC内接于⊙O,过点B作⊙O的切线,交CA的延长线于点E,∠EBC＝2∠C．
　　①求证：AB＝AC；
　　②若tan∠ABE＝1/2,（ⅰ）求AB/BC

的值；（ⅱ）求当AC＝2时,AE的长．

①连接OA,OB,OC
∵EB与⊙O相切于B
∴根据切线角定理以及圆周角和圆心角关系,∠EBC=1/2∠BOC
∵∠C=1/2∠BOA
∴1/2∠BOC=∠EBC＝2∠C=2*1/2*∠BOA=∠BOA
∴∠BOA=∠AOC
∴弧BA=弧AC
∴AB=AC
②首先要应用弦长公式,推导方法很多,比如：
在△OBC中,根据余弦定理,BC^2=r^2+r^2-2r*r*cos∠BOC
BC=r*√[2(1-cos∠BOC)]
再根据半角公式,BC=2r*sin(∠BOC/2)
∴AB/BC=[2r*sin(∠BOA/2)]/[2r*sin(∠BOC/2)]
∵1/2∠BOC=∠BOA,∠BOA=2∠C
∴AB/BC=sin(∠C)/sin(2∠C)
再根据倍角公式,AB/BC=1/(2cos∠C)
∵EB与⊙O相切于B
∴∠ABE=∠C
∴tan∠C=tan∠ABE＝1/2
∴cos∠C=2/√5
∴AB/BC=√5/4

切线的性质三角形ABC内接于圆O,过点B作圆O的切线,交CA的延长线于点E,角EBC=2角C,求证:AB=AC.很抱歉, (2013 扬州)如图,△ABC 内接于⊙O,弦AD⊥AB 交BC于点E,过点B作⊙O的切线交的延长线于点F 且∠ABF 如图,已知△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆O于点D,过D作圆O的切线与AC的延长线交于点E.（1）求证：BC平行如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．如图，等腰△ABC内接于⊙O，BA=CA，弦CD平分∠ACB，交AB于点H，过点B作AD的平行线分别交AC，DC于点E，如图,三角形ABC内接于圆O,弦AD垂直AB交BC于点E,过点B作圆O的切线交DA的延长线于点F,且角ABF=角ABC. 已知如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交BC6于D,交⊙O的切线BF交AE延长线与F,过E作EH⊥BF,垂足为H 如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D； 24.（本题满分12分）已知：如图△ABC内接于⊙O,OH⊥AC于H,过A点的切线与OC的延长线交于点D,∠B=30°, 已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BF于点F，B为切点．求证：（1）BD平分∠C 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA=3，AE=2，已知,如图△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆O于D,过D作DE‖BC,交AC的延长线于E,求证：DE是圆O的切线