如图三角形ABC和三角形ADE都是等腰直角三角形,CA=CB,EA=ED,D在AB

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 19:19:17

如图三角形ABC和三角形ADE都是等腰直角三角形,CA=CB,EA=ED,D在AB
上,G是BD中点,F是CE的中点
求证FG垂直于CE,FG=二分之一CE
麻烦各位自己画个图

延长ED交BC于H,连结AF、FH、HG,
因为△ACB、△ADE都为等腰直角三角形,
所以∠ACH＝90°,∠AEH＝90°,∠CAD＝45°,∠EAD＝45°,
所以∠CAE＝∠CAD＋∠EAD＝90°,
所以四边形AEHC为矩形,则∠EHC＝90°,
因为CF＝FE,所以FH＝CF＝FE,则∠FCH＝∠FHC,
∠HFC＝180°－∠FCH－∠FHC＝180°－2*∠FCH
同理在直角三角形ACE中,CF＝FE,
所以AF＝CF＝FE,则有AF＝FH,∠FAE＝FEA,
则∠AFE＝180°－∠FAE－∠FEA＝180°－2*∠FEA,
因为AEHC为矩形,所以CH//AE,则∠FCH＝∠FEA,
所以∠HFC＝∠AFE,故A、F、H在同一直线上.
因为EHB＝90°,∠B＝45°,所以三角形HDB也为等腰直角三角形,
因为DG＝GB,所以HG⊥DB,
在直角三角形中,AF＝FH,所以GF＝AF＝CF＝FE＝1/2CE,
因为AF＝CF,所以∠FAC＝∠FCA,则∠HFC＝2*∠FAC,
因为GF＝AF,所以∠FAG＝∠FGA,则∠HFG＝2*∠FAG,
所以∠GFC＝∠HFC＋∠HFG＝2（∠FAC＋∠FAG）＝2*∠CAB,
因为∠CAB＝45°,所以∠GFC＝90°,
所以GF⊥CE,且GF＝1/2CE.